2.10.3. Преобразование координат при переходе к новому базису

Пусть e1,e2 ,e3 ,....en и e1′,e2′,e3′,....,e′n – два базиса в n-мерном пространстве.

Будем называть их старым и новым соответственно. Пусть даны зависимости, выражающие каждый вектор базиса через вектора старого базиса:

′	= а11e1		+ а21e2		+... + аn1e
e1
e′	= а	e	+ а	e	+... + а	n2	e	n
2	12	1	22	2
KKKKKKKKKKKK
	= а1n e1		+ а2n e2		+... + аnn en
en′
Матрица

		а	а	.....	а
		11	12		1n
	a21		a22	.....	a2n
А=				.....
	..... ......				.....
			an2	.....	an2
	an1

(10.3.1)

(10.3.2)

называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису.

Пусть вектор xr имеет в старом базисе координаты ξ1 ,ξ2 ,....,ξn , т.е. x(ξ1 ,ξ2 ,...ξn ) , а в новом базисе тот же вектор x имеет координаты ξ1′,ξ2′,.....,ξn′.

Тогда xr =ξ1′ er1′ +ξ2′ er2′ +.... +ξn′ ern′=ξ1 er1 +ξ2 er2 +.... +ξn ern . Подставляя e1′, e2′,..., en′ из (10.3.1) и приравнивая коэффициенты при векторах e1 , e2 ,..., en , получаем:

ξ1	=ξ1′а11	+ξ2′а12	+.... +ξn′a1n
	=ξ1′а21	+ξ2′а22	+.... +ξn′a2n
ξ2				(10.3.3)
	LLLLLLLLL
	=ξ1′а21	+ξ2′а22	+.... +ξn′a2n
ξ2

Формулы (10.3.3) называются формулами преобразования координат.

Столбцы матрицы А являются координатами в формуле перехода от старого базиса к новому, а строки матрицы А – координатами в формулах преобра-

зования старых координат через новые.			+... + en . Разложить вектор xr по ново-
Пример 10.9. Дан вектор x = e1		+ e2
му базису er1′ = er2 + e3 + er4 , er2′ = er1 + e3	+ e4 ,		e3′ = e1	+ e2 + e4 , e4′ = e1 + er2 + er3 .
Здесь
0		1	1	1
	1	0	1	1
А =	1	1	0	1
	1	1	1	0

поэтому строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преоб-

разования	координат: ξ1 =ξ2′ +ξ3′ +ξ4′ , ξ2 =ξ1′ +ξ3′ +ξ4′ , ξ3 =ξ1′ +ξ2′ +ξ4′ ,
ξ4 =ξ1′ +ξ2′	+ξ3′ . Складывая все уравнения и учитывая, что ξ1 =ξ2 =ξ3 =ξ4 =1,

87

получаем 4=3(ξ1′ +ξ2′ +ξ3′ +ξ4′). Откуда следует ξ1′ =ξ2′ =ξ3′ = 13. В общем случае

надо решить систему (10.3.3) относительно координат ξ1′, ξ′2 ,....., ξ′n вектора x в новом базисе.

Задача 10.8. Найти координаты вектора xr =8er1 + 6er2 + 4er3					−18er4	в новом
базисе	er1′, er2′, er3′, er4′,	если	er1′ = −3er1 + er2 + er3 + er4 ,	er2′ = 2er1 − 4er2 + er3			+ er4 ,
er3′ = er1 +3er2 −5er3 +er4 , er4′ = er1 + er2 + 4er3 − 6er4 .				er2′ = er3	− er1 ,	er3′ = er1
Задача 10.9. Возможна ли зависимость er1′ = er2 − er3 ,							− er2
между старым базисом er1 , er2 , ern			и новым базисом er1′,er2′,...,ern′.

2.10.4. Подпространства и решения системы однородных линейных алгебраических уравнений

Линейное пространство R′ называется подпространством линейного пространства R, если все элементы R′ являются элементами R.

Например, множество всех векторов, параллельных одной и той же плоскости в пространстве, является подпространством всех геометрических векторов пространства.

Для любых заданных векторов xr , yr , zr ,..., ur линейного пространства все их возможные линейные комбинации αx + βy + γz + .... + δu с любыми числами α, β,γ,....,δ образуют подпространство пространства R. Множество всех линейных комбинаций векторов αx + β y +γ z +.... +δu называется линейной обо-

лочкой векторов xr

, yr

, zr ,..., ur, и обозначается L( xr , yr

, zr ,..., ur).

Пусть R1 и R2

– подпространства линейного пространства R. Тогда пе-

ресечением R1 и R2 называется множество R3 всех элементов, которые одно-

временно принадлежат R1 и R2 . Пересечение

R1 и

R2 обозначается R1 ∩ R2 ,

т.е.

R3 = R1 ∩ R2 . Суммой

R1

и

R2 называется множество R4 всех элементов

x + y , где

R1 ,

R2 .

Ясно,

что R3 и R4 являются подпространствами R.

x

y

Для

размерностей

R1 ,

R2 , R1 ∩ R2 = R3

и

R1 + R2 = R4

справедливо

d( R3 + R4 )=d( R1 )+d( R2 ).

Пример 10.10. Дано пространство R, элементами которого являются ко-

ординаты точек P(x;y;z)

, x > 0,

y > 0, z > 0 . Сложение P1 (x1 ; y1; z1 )

и P2 (x2; y2; z2 )

определенно равенством P1 + P2

= (x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 ) , а умножение P(x;y;z) на чис-

ло λ – равенством λP = (xλ ; yλ ; zλ ) . Доказать, что множество R1

точек, распо-

ложенных на плоскости z=1 является подпространством R.

Поскольку для точек из R1 верно z1 = z2 =1, то их сумма: z3 = z1 z2 =1 и

произведение λP так же z=1. Остальные условия выполняются согласно свойствам R.

88

Задача 10.10. Пусть R – пространство всех геометрических векторов и R1 – множество векторов, параллельных плоскости XOY, R2 – множество векторов, параллельных плоскости XOZ. Найти R3 = R1 ∩ R2 и R4 = R1 + R2 .

Решения однородной системы уравнений

α	11 x1 +α12 x2 + ... + a1n xn = 0
	21 ξ1	+α22 x2 + + a2n xn = 0	(10.4.1)
α
.......... .......... .......... .......... .....
		+αm 2 x2 + +αmn xn = 0
αm1 x1

образуют подпространство n-мерного пространства. Совокупность линейно независимых решений fr1 , fr2 ,..., fn системы (10.4.1) называется фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (1) может быть представлено в виде линейной комбинации векторов fr1 , fr2 ,..., fn .

Основная теорема о фундаментальной системе решений: Если ранг матрицы

	а	а	.....	а
	11	12		1n
a21		a22	.....	a2n
			.....	.....
..... .....
		am2	.....
am1				amn

меньше n, то система (10.4.1) имеет ненулевые решения.

Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений равно k=n-r, где r – ранг матрицы.

Пример 10.11. Найти базис и размерность подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений:

2x1 +3x2 + 4x3 +5x4 = 04x1 + 6x2 +8x3 +10x4 = 0

6x1 +9x2 +12x3 +15x4 = 0

Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен 1, т.к. все миноры, кроме миноров первого порядка, равны нулю. Число неизвестных n = 4, r = 1. Следовательно подпространство решений имеет размерность k = 4 −1 = 3 , и для получения достаточно решить только одно уравнение.

Запишем первое уравнение в виде: х1			= − 3 х2 −2х3	−	5 х4 . Из него получаем
			2		2
три линейно	независимых	решения,	полагая		х2 = 2, х3 = х4 = 0 , или
х2 = 0, х3 =1, х4 = 0	или х2 = х3 = 0, х4	= 2. Соответственно находим фундаменталь-

ную систему решений: f1 = (−3;2;0;0; ), f 2r = (−2;0;1;0), f3r = (−5;0;0;2).

Пример 10.12. Найти размерность и базис подпространства решений системы уравнений.

х	1 + х2			− х3		+ х4		= 0
	1	− х2		+ х3		− х4		= 0
х
3х		1	+ х	2	− х	3	+ х	4	= 0
3х		1	− х	2	+ х	3	− х	4	= 0

89

Используя элементарные преобразования строк матрицы коэффициентов при неизвестных, находим ранг этой матрицы:

	1	1	−1	1		1 1 −1 1							1	1	−1	1
	1	−1	1				0	− 2	2	− 2			0	1	−1	1
				−1
	3	1	−1	1		≈	0	− 2	2	− 2		≈	0	0	0	0
	3	−1	1				0	− 4	4	− 4			0	0	0	0
				−1

Следовательно r=2 и размерность подпространства решения равна 2. Соответственно, фундаментальная система решений получится из решения системы первых двух уравнений.

х1 + х2 − х3 + х4

= 0

или

х1 + х2 = х3 − х4

х

− х

2

+ х

3

− х

4

= 0

х

− х

2

= −х

3

+ х

4

1

1

откуда х1 = −х4 , х2 = х3.Поэтому базис (фундаментальная система решений)

есть f1 = (−1;0;0;1) и f2 = (0;1;1;0) .

Задача 10.11. Найти размерность и базис подпространства решений системы:

х	1	−2х	2	+ х	3	= 0
		1 − х		− х		= 0
2х			2		3
					−2х3 = 0
−2х1 + 4х2

Задача 10.12. Найти размерность подпространства, базис и общее решение системы уравнений:

х1 + 2х2 + х3 + х4 + х5 = 0

х1 − 2х2 + х3 + х4 − х5 = 0

2.10.5. Линейные преобразования

Линейным преобразованием А пространства R называется такое правило, по которому для каждого вектора х R поставлен в соответствие новый

вектор Ax R, если для любых векторов x и y и любого числа λ верно

A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λAx

(10.5.1)

Пусть в n-мерном линейном пространстве R с базисом e1 ,e2 ,...,en задано линейное преобразование А. Тогда Ае1 , Ае2 ,K, Аеn – тоже векторы простран-

ства R. Поэтому их можно единственным способом разложить по векторам базиса:

Ае1 = а11 е1 +а21 е2 +K+аn1 en ,
Ae2 = a12 e1 +a22 e2 +K+an2 en ,	(10.5.2)
KKKKKKKKKKKKKK

Aen = a1n e1 +a2n e2 +K+ann en .

90

Матрица

	а	а	K а
	11	12	1n
	а21	a22	K a2n		(10.5.3)
А=	K	K	K K
		an2
an1			K ann

называется матрицей линейного преобразования А в базисе e1 ,e2 ,...,en . Столб-

цы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов.

Для любого вектора х = х1 е1 + х2 е2 +K+ хn en из R вектор Ax можно разложить по базису e1 ,e2 ,...,en .

Ах = х1′е1 + х2′е2 +K+ хn en

(10.5.4)

Координаты (x1′; x2′;K; xn′ ) вектора Ax выражаются через координаты ( x1 ; x2 ;K; xn ) вектора x в виде:

x1′ = a11 x1 + a12 x2 +K+ a1n xn ,

x2′ = a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn ,
................................................	(10.5.5)
xn′ = an1x1 + an2 x2 +... + ann xn .

Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе e1 ,e2 ,...,en .Коэффициенты в формулах преобразования (10.5.5) являются эле-

ментами строк матрицы А.

Пример 10.13. Найти матрицу тождественного преобразования Е в n- мерном пространстве.

Тождественное преобразование не меняет никаких векторов, включая и базисные e1 ,e2 ,K,en .

Поэтому e1′ = e1,e′2 = e2 ,K,en′ = en и

e1′ =1 e1 +0 e2 +K+0 en e2′ = 0 e1 +1 e2 +K+0 en

KKKKKKKKKKK

en′ = 0 e1 +0 e2′ +K+1 en

Итак, единичная матрица является матрицей тождественного преобразования:

	1	0	K	0
	0	1	K	0
Е=
K K K K
		0	K
0				1

91

Пример 10.14. Линейное преобразование А четырехмерного пространства определено равенствами:

Ae1 = e3 + e4 , Ae2 = e1 + e4 , Ae3 = e4 + e2 , Ae4 = e2 + e3 .

Записать это преобразование в координатной форме. Матрица преобразования А есть:

0		1	1	0
	0	0	1	1
A=
	1	0	0	1
	1	1	0	0

Следовательно преобразование А в координатной форме записывается x1′ = x2 + x3 , x2′ = x3 + x4 , x3′ = x1 + x4 , x4′ = x1 + x2 .

Пример 10.15. Преобразование А определено равенством Ах =α х, где α

– действительное число. Показать, что преобразование линейно.

Имеем: А(x + y)=α(x + y)=αx +α y = Ax + Ay и A(λx)=α(λx)= λ(αx)= λAx. Сле-

довательно преобразование Ax =αx линейно.

Задача 10.13. Преобразование А в линейном пространстве определено равенством Аx = x + x0 , где x0 – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным?

Задача 10.14. Найти матрицу преобразования подобия Ax =αx в n-мерном пространстве.

Задача 10.15. Доказать, что преобразование Bx = Ax − 2x является линейным, если преобразование А линейно.

Действия над линейными преобразованиями.

Суммой линейных преобразований А и В пространстве R называется та-

кое преобразование С, для которого C x = Ax + Bx . Оно обозначается C=A+B.

Произведением линейного преобразования А на число λ называется пре-

образованием С1 , для которого С1 x = λ Аx . Оно обозначается C1 = λ А.

Произведением линейного преобразования А на линейное преобразова-

ние В называется преобразование С2 , для которого С2 x = ABx . Оно обозначается C2 = AB .

При сложении преобразований выполняется переместительный закон, т.е. А+В=В+А, а при умножении в общем случае АВ≠ ВА.

Если для линейного преобразования А найдутся такие линейные преобразования В и С, что ВА=Е и АС=Е,то В=С= А−1 – обратное преобразование для преобразования А.

Матрица линейного преобразования А−1 является обратной матрицей по отношению к матрице А линейного преобразования А.

Пример 10.16. Даны два преобразования:

x′ = x + 2x +3z	x′ = 2x + 6y +9z
A1 : y′ = 4x +5y + 6z	A2 : y′ = 6x +7y +9z
z′ = 7x +8y +9z	z′ = 21x + 24y + 26z

92

Найти 3А1 −2А2 . Имеем:

x′ =3x + 6x + 9z

3A1 : y′ =12x +15y +18z z′ = 21x + 24y + 27z

x′ = 4x +12y +18z

2A2 : y′ = 12x +14y +18z z′ = 42x + 48y + 52z

Поэтому

x′ = x(3 −4) + x(6 −12) + z(9 −18) = −x −6y −9z 3À1 −2À2 : y′ = x(12 −12) + y(15 −14) + z(18 −18) = y

z′ = x(21−42) + y(24 −48) + z(27 −52) = −21x −24y −25z

Пример 10.17. Даны линейные преобразования:

	x′=x+y						x′=y+z
А:	y′=y+z			B:			y′=x+z
	z′=z+x						z′=x+y
Найти произведения АВ и ВА.
Матрицы преобразований А и В есть:
		1	1	0			0		1	1
		0	1	1		,		1 0 1
	А=						В=
		1	0	1				1	1	0

Поэтому

	1	1	2				1	1	2
	2	1	1		,		2	1	1
АВ=						ВА=
	1	2	1				1	2	1

Оказалось, что АВ=ВА. Следовательно в данном случае АВ и ВА совпадают, а преобразование АВ есть: x′=x+y+2z, y′=2x+y+z, z′=x+2y+z.

Задача 10.16. Преобразование А задано равенствами Ае1 = е2 , Ае2 = е1 , где е1 , е2 – базис линейного пространства. Найти матрицу обратного преобра-

зования.
Задача 10.17. При	каком значении λ	линейное преобразование
х′=-2х+y+z, y′=x-2y+z, z′=x+y+ λ z не имеет обратного преобразования?
Ненулевой вектор х	называется собственным вектором линейного пре-
образования А, если найдется такое число λ , что		Ах = λх . Такое числоλ на-

зывается собственным числом линейного преобразования А, соответствующим вектору х.

Для линейного преобразования А с матрицей	а		а		собственны-
	A =	11	12
		а21	а22

ми числами служат корни λ1 и λ2 уравнения

	а11 −λ	а12		=0
	а21	а22 −λ

93