2.8.Прямая на плоскости

2.8.1.Общее уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение вида

Ax + By +C = 0

(8.1.1)

где A2 + B2 > 0 . Это значит, что каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (8.1.1), принадлежит прямой. А любая точка M (x1; y1) , для которой Ax1 + By1 + C ≠ 0 , т.е. не удовлетворяющая (8.1.1), не принадлежит прямой, заданной уравнением (8.1.1). Подразумевая этот факт, очень часто говорят о прямой (8.1.1). Поэтому ниже все время будем говорить о прямой (8.1.1), подразумевая прямую, заданную этим уравнением.

Частные случаи общего уравнения прямой:

1.C = 0 ,A×B ≠ 0 . Прямая определяется уравнением Ax + By = 0 и про-

ходит через начало координат.
2.		A = 0 , B×C ≠ 0 . Прямая, определяемая уравнением					By +C = 0 ,	т.е.
y = b , где b = −			C	, параллельна оси Ox.
3.			B		Прямая,	определяемая уравнением		т.е.
		B = 0, AC ≠ 0.					Ax +C = 0,
x = −	C	, параллельна оси Oy.
	A
					Прямая,	определяемая уравнением Ax = 0, т.е. x = 0 ,
4.		B = C = 0, A ≠ 0.

совпадает с осью Oy.

5.A = C = 0, B ≠ 0 . Прямая, определяемая уравнением By=0, т.е. y = 0 ,

совпадает с осью Ox.

Пример 8.1. Построить прямые: 1) x − 4y + 8 = 0 ; 2) 2x + 5y = 0 ; 3)5x − 3 = 0 ; 4) y + 3 = 0 .

1) При x = 0 в первом уравнении остается − 4y +8 = 0 , откуда 4y =8 , y = 2 . Значит прямая проходит через точку (0;2) . При y = 0 получаем x = −8 , т.е. прямая пересекает ось Ох в точке (−8;0) . Остается провести прямую через найденные точки (0;2) и (−8;0) .

2) Прямая 2x +5y = 0 проходит через начало координат. Пусть x = 5 . Тогда 2×5 +5y = 0, т.е. y + 2 = 0 и y = −2 . Это значит, что прямая проходит через точку (5;−2) . Остается провести прямую через две точки (0;0) и (5;−2) .

3)Из уравнения прямой получаем x = 53 . Эта прямая параллельна оси Оу

ипроходит через точку 3 ;0 .

5

4)Аналогично получаем y = −3 и, следовательно, прямая проходит через

точку (0;−3) параллельно оси Ох.

71

a 2 + b2

Пример 8.2. Уравнение прямой (x				2 + 2	5) ×4 −(y + 2 5) ×3 = 0		запи-
сать в виде общего уравнения прямой.						5 − 3y − 6 5 = 0 ,	т.е.
Раскрывая		скобки,	получаем	4	2x + 8
4 2x −3y + 2	5 = 0 . Это общее уравнение прямой с A = 4					2, B = −3, C = 2	5 .
Задача 8.1. Построить прямые 1) 4x − 5y +15 = 0 ; 2)3x − 2y = 0 ; 3)7x −10 = 0 ;
4)5y − 3 = 0 .
Задача	8.2.	Найти площадь треугольника, образованного прямой

9x + 4y − 36 = 0 с осями координат.

Задача 8.3. Какие углы образуют с положительным направлением оси Ох прямые:

1) 3x − 3y + 5 = 0 ; 2) 4x + 2y − 3 = 0 ; 3) 5x −10y − 2 = 0 .

Задача 8.4. Составить уравнение прямой, которая отсекает на координатных осях равные 1 положительные отрезки.

2.8.2. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения

Коэффициенты А и B в общем уравнении прямой (8.1.1) можно рассматривать как координаты вектора (А;В). Этот вектор всегда перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой. Длина этого векто-

ра	A2 + B2 используется для приведения	общего уравнения	прямой
Ax + By + C = 0 к нормальному уравнению прямой:
	± Ax + By + C = 0	(8.2.1)
	A2 + B 2
	Здесь знак выбирают противоположный знаку С.
	Если С=0, то прямая проходит через начало координат. В общем случае
С определяет смещение прямой относительно начала координат.			с	–

расстояние от начала координат до прямой.

Пример 8.3. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат перпендикулярно вектору (3;2).

Перпендикулярный вектор (нормаль к прямой) определяет коэффициенты А и В, то есть A = 3, B = 2 . Так как прямая проходит через начало координат, С=0 и уравнение прямой 3x + 2y = 0 .

Пример 8.4.	Дано общее уравнение прямой 5x −12y + 6 = 0 . Написать
нормальное уравнение прямой.
Имеем: A = 5,	B = −12 .		A2 + B 2			=	52 + (−12)2 =13. Поэтому нормальное
уравнение прямой есть: −		5	x +	12	y −	6	= 0 .
						13
	13		13

72

Задача 8.5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку A(−2;−3) .

Задача 8.6. Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат параллельно прямой с уравнением 5x − 2y + 4 = 0 .

Задача 8.7. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку (0;5) параллельно прямой 3x − 2y = 0 .

2.8.3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Параметрическимуравнениемпрямойназываетсясистемадвухуравнений:

x = a + lt , y = b + mt

(8.3.1)

Здесь (a;b) – координаты любой точки прямой, (l; m) – вектор параллельный прямой, t − свободный параметр. Вектор (l; m) называется направляющим вектором прямой. Параметр t может принимать любые значения и определяет координаты точки на прямой.

Каноническим уравнением прямой называется уравнение:

x − a	=	y − b	,	(8.3.2)
l
		m

где параметры a, b, l, m имеют тот же смысл, как и в (8.3.1).

Понятно, что параметрические и канонические уравнения прямой позволяют определить и общее уравнение прямой.

Пример 8.5. Найти уравнение прямой, которая проходит через точки

M1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) .
Направляющий вектор прямой (M1 , M 2 )= (x2 − x1 ; y2 − y1 ). Поэтому кано-
ническое уравнение прямой есть:
x − x1 =	y − y1
x2 − x1	y2 − y1

После несложных преобразований получаем и общее уравнение прямой в виде:

x(y2 − y1 )− y(x2 − x1 )+ y1x2 − x1 y2 = 0

Пример 8.6. Найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (2;5), если ее общее уравнение 5x +3y − 25 = 0 .

Вектор (A, B)= (5;3) – нормальный к прямой. Значит нормальный к нему вектор (-3;5) (их скалярное произведение равно 0) является направляющим вектором прямой, то есть l = −3, m = 5 в уравнении (8.3.1). Следовательно параметрическое уравнение прямой есть x = 2 −3t , y = 5 + 5t .

Задача 8.8. Найти уравнение прямой, которая проходит через точки (3;5)

и (-2;5).

73

	Задача			8.9.	Найти	точку	пересечения	прямых
x = 2 + 5t, y = 3 − 4t .
	Задача			8.10.	Найти	точку	пересечения	прямых
x − 3	=	y + 5	.
2
	1

Задача 8.11. Найти каноническое уравнение прямой, уравнение 3x − 2y + 6 = 0 .

3x + 2y + 2 = 0					и
	x + 2	=	y − 3		и
3
		5

если ее общее

Указание. Каноническое уравнение прямой определяется общим уравнением прямой неоднозначно. Дело в том, что можно произвольно выбрать точку на прямой, а координаты направляющего вектора определены с точностью до общего множителя.

2.8.4. Некоторые задачи с прямыми на плоскости

Уравнения прямых, проходящих через заданную точку (x0 , y0 ) есть:

А(х – х0) + В(у – у0) = 0

(8.4.1)

Уравнение (8.4.1) выражает перпендикулярность вектора (A, B) и произвольного вектора (x − x0 , y − y0 ), соединяющего точку (x0 , y0 ) с произвольной точкой (x, y) этой прямой. Поэтому уравнение прямой, проходящей через

точку (x0 , y0 ) параллельно прямой A1 x + B1 y + C1	= 0 есть:
A1 (x − x0 ) + B1 ( y − y0 ) = 0	(8.4.2)
Аналогично, уравнение прямой, проходящей через точку (x0 , y0 ) пер-
пендикулярно прямой A2 x + B2 y + C2 = 0 есть:
−B 2 (x − x0 ) + A2 ( y − y0 ) = 0	(8.4.3)

Уравнение

α(A1 x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0 , (8.4.4)

где α и β произвольные числа, называется уравнением пучка прямых. Все они проходят через точку пересечения прямых A1 x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 .

Уравнение прямой, проходящей через точки

	x − x1			=	y − y1
	x	2	− x		y	2	− y	1
			1

M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) есть:

(8.4.5)

Расстояние d от точки	(x1 , y1 ) до прямой	Ax + By + C = 0 определяется
формулой
d =Ax1 + By1 + C		(8.4.6)
A2	+ B2

74

	Всякая прямая	Ax + By + C = 0 делит плоскость на две полуплоскости.
В	одной из них	для всех точек верноAx + By + C > 0 ,	а для	другой
Ax + By + C < 0 . Первая называется положительной полуплоскостью,				а вторая
–	отрицательной полуплоскостью относительно прямой		Ax + By + C = 0 . В

частности, начало координат принадлежит положительной полуплоскости прямой Ax + By + C = 0 только тогда, когда С>0.

Пример 8.7. Через точку пересечения прямых 2x + 2y-5 = 0 и 4x-3y + 2 = 0 провести прямую, параллельную оси x.

Уравнение такой прямой должно иметь равный нулю коэффициент при x. Поэтому из пучка прямых A( 2x + 2y-5 ) + B( 4x-3y + 2 ) = 0 надо выделить прямую с 2A + 4B = 0 , то естьA = -2B . Эта прямая получается, например, при

A = -2, B =1 и есть − 7 y +12 = 0 .

Пример 8.8. Отрезок соединяет точки M1 (-2;3) и M 2 (5;4) . Пересекает ли этот отрезок прямую 3x-4y = 0 ?

Точка М1 лежит в отрицательной полуплоскости прямой 3x-4y = 0 , так как 3(−2) −4×3 = −18 < 0 . Для точки М2 имеем: 3×5 −4×4 =−1<0. Следовательно

отрезок лежит в отрицательной полуплоскости и не пересекает прямую. Пример 8.9. В треугольнике ABC вершины A(0;1), B(6;5) и C(12;-1). Со-

ставить уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины С.

	Уравнение прямой, проходящей через A и B, есть	x −0	=	y −1		, т.е.
		6 −0		5 −1

4x-6y + 6 = 0 . Поэтому вектор (4;-6) – направляющий вектор высоты, и уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника, опущенная из верши-

ны C(12;-1),	x −12	=	y +1	, т.е. 3x + 2y − 34 = 0 .
4			− 6

Пример 8.10. Даны уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника ABС. AB: x + 3y − 7 = 0 , BC: 4x − y − 2 = 0 и AC: 6x + 8y − 35 = 0 . Найти длину высоты, проведенной из вершины B.

Определим координаты вершины B. Для этого найдем точку пересечения прямых AB и BC, так как они проходят через точку B. Из решения системы уравнений x + 3y − 7 = 0 , 4x − y − 2 = 0 получаем x =1, y = 2 . Поэтому длина высоты есть расстояние от точки (1;2) до прямой 6x + 8y − 35 = 0 и рав-

на d = −	6 ×1 +8 × 2 − 35				=	13	.
		2		2
	6		+ 8		10

Пример 8.11. Даны вершины треугольника: A(0;1), B(6;5), и C(12;1). Найти уравнения высоты и медианы, опущенных из вершины С.

Уравнение стороны AB есть x − 0 = y −1 , т.е. 4x − 6 y + 6 = 0 . Поэтому

6 − 0 5 −1

вектор (4;-6) перпендикулярен прямой AB и является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины С, и уравнение высоты есть

75