определяется рангом матриц:
|
A |
B |
C |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
и |
A = A2 |
B2 |
C2 |
|||
|
A |
B |
C |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
A1 |
B1 |
C1 |
D1 |
|
||
|
A |
B |
C |
|
D |
|
B = |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
A |
B |
C |
D |
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
A4 |
B4 |
C4 |
D4 |
||
Если ранг(А)=ранг(B)=3, то прямые пересекаются в точке, координаты которой можно найти по правилу Крамара. Если ранг (А)=3 и ранг(B)=4, то прямые скрещиваются, т.е. не пересекаются и не параллельны. Если ранг(А)=2 и ранг(B)=3, то прямые параллельны, а в случае ранг(А)=ранг(B)=2 прямые совпадают.
Пример 9.6. Найти зависимость взаимного расположения плоскостей 6x −4y + z = 0 и 3x −2y +az +5 = 0 от параметра а.
|
|
|
Имеем: |
|
A1=6, |
B1=-4, C1=1, D1=0, |
A2=3, B2=-2, |
C2=a, D2=5 и |
||||||||||||||||||
|
A1 |
= |
|
B1 |
= 2 = |
C1 |
= 1 , |
если a = |
1 |
. |
При |
этом |
D1 |
= 0 ≠ 2 = |
A1 |
|
и, следовательно, |
|||||||||
|
A |
|
|
B |
C |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
2 |
|
A |
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
плоскости параллельны. Если a |
≠ |
1 |
, то |
C1 |
≠ |
|
B1 |
|
и плоскости пересекаются. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
C |
2 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Пример 9.7. Показать, что плоскости П1 : 5x −3y +2z = 0 , П2 : 2x − y − z −1 = 0 , П3 : 4x − y − z −1 = 0 принадлежат одному пучку. Построить прямую, по кото-
рой пересекаются плоскости.
Вопросы для самостоятельного контроля
1)Что называется общим уравнением плоскости?
2)Какой вектор образуют коэффициенты при неизвестных общего уравнения плоскости?
3)Как проходит плоскость, если свободный коэффициент ее общего уравнения равен нулю?
4)На какие полупространства делит плоскость пространство?
5)Что такое связка плоскостей?
6)Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?
7)Что такое общее уравнение прямой в пространстве?
8)Что называется параметрическим уравнением прямой в пространстве?
9)Что называется каноническим уравнением прямой в пространстве?
10)Что такое направляющий вектор прямой?
11)Как найти направляющий вектор прямой по ее общему уравнению?
12)При каком условии заданная прямая пересекает плоскость?
13)При каком условии прямая параллельна плоскости?
14)При каком условии заданная прямая лежит в плоскости?
15)Какому условию удовлетворяют коэффициенты при неизвестных в общих уравнениях двух параллельных плоскостей?
16)При каком условии на коэффициенты общих уравнений двух плоскостей эти плоскости пересекаются?
82