2.2. Умножение матриц и системы линейных уравнений

2.2.1. Умножение матриц

Пусть А и В две матрицы и число столбцов в матрице А равно числу строк в матрице В, т.е. A и В имеют размеры m×n и n×k соответственно. В этом случае матрицы А и В можно перемножить. После умножения получится матрица С, которая обозначается АВ, т.е. С=АВ. Знак умножения здесь обычно не пишут, как и при умножении в алгебре. При этом в матрице С всегда столько строк, сколько их в матрице А, и столько столбцов, сколько их в матрице В. Элементы матрицы С=АВ вычисляются по правилу:

cij = ai1b1 j + ai 2b2 j +... + ain bnj

где i=1,2,…,m; j=1,2,…,к.

Пример 2.1. Пусть элементы a11 , a12 матрицы-строки А – цены на единицы товаров двух видов, а элементы b11 ,b21 матрицы-столбца В – объемы сделанных закупок этих товаров. Тогда a11b11 иa12b21 – стоимости товаров каждо-

го вида, а АВ – общая стоимость сделанных покупок (число). Пример 2.2. Перемножим матрицы А=( 2 3 5 0 ) и В=(1 –4 2 3)т.

Здесь А матрица-строка с четырьмя столбцами, а В матрица-столбец с четырьмя строчками. Поэтому матрица С=АВ будет иметь один столбец и одну строчку. Единственный элемент этой матрицы есть:

с11=2×1+3×(-4)+5×2+0×3= 2-12+10+0=0.

В общем случае для получения элемента i-й строки и j-го столбца матрицы АВ аналогично надо сложить перемноженные пары соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Задача 2.1. Придумать матрицы А и В, отражающие смысл стоимости единицы и количество произведенной продукции пяти видов. Убедитесь, что умножение придуманных матриц А и В дает общую стоимость всей произведенной продукции.

Пример 2.3. Найти произведение матриц:

3		1			6
A =				B =
	2	5			7

Здесь матрица А имеет два столбца и две строки, а матрица В – две строки и один столбец. Поэтому матрица С=АВ будет иметь две строки и один столбец. Элементы этого столбца: с11=3×6+1×7=18+7=25 и

с21=2×6+5×7=12+35=47. Таким образом,

3		1		6			25
C = AB =						=
	2	5		7			47

Пример 2.4. Найти произведение матриц А и В, если это возможно:

4		3	1			7	5
					B =	3	8
A =	2	5	−3
						− 2
							1

18

В этом примере можно найти произведение матриц АВ, так как А имеет 3 столбца, а В – 3 строки. После умножения А на В получим матрицу С=АВ с 2 строками и 2 столбцами. Элементы С получаются сложением перемноженных пар соответствующих элементов матриц А и В:

с11=4×7+3×3+1×(-2)=28+9-2=35, с12=4×5+3×8+1×1=20+24+1=45 с21=2×7+5×3+(-3) × (-2)=14+15+6=35, с22=2×5+5×8+(-3) ×1=10+40-3=47

Таким образом,
7	5	35 45
4 3 1

2 5 −3 −3 8 35 47

2 1

Вданном примере матрицы А и В можно перемножить и в другом по-

рядке, так как матрица В имеет 2 столбца, а матрица А имеет 2 строки. В результате получится произведение ВА с элементами:== =

	7 ×4 +5×2	7 ×3 +5×5	7 ×1+5×(−3)		38		46	−8
	3×4 +8×2	3×3 +8×5	3×1+8×(−3)			28	49
BA =					=			−21
	(−2) ×4 +1×	2 (−2) ×3 +1×	5 (−2) ×1+1×(−3)			−6 −1		−5

Заметим, что вычислять отдельные элементы произведения двух матриц А и В можно в любом порядке. Но всегда для того, чтобы найти элемент сij, надо использовать только i-ю строку матрицы А и j-й столбец матрицы В.

Задача 2.2. Найдите произведение матриц АВ, если это возможно:

5

B =

(− 7 5 3)

2)A =

4

− 7

−3 2 6

1)A =

B =

4

− 2

6 5

−5 1

1 8 3

3 4

9

5

− 3 1 4 3

4)A =

− 3 2

3)A =

B =

B =

6 4 5

5 −8 9 2

2 7

1

− 4

2.2.2.Свойства умножения матриц

Вприведенном выше примере 2.4 матрицы А и В можно перемножать в произвольном порядке и находить как АВ, так и ВА. В результате получались квадратные матрицы различных порядков. Если матрица-строка А и матрица-столбец В имеют одинаковое количество элементов, их всегда можно перемножать в любом порядке, т.е. находить как АВ, так и ВА. В первом случае получается только одно число, т.е. матрица первого порядка. Во втором – квадратная матрица, содержащая столько строк, сколько их было в исходной матрице-строке.

Квадратные матрицы всегда можно перемножить в любом порядке. Однако результаты умножения, как правило, оказываются разными. Поэтому для умножения матриц, в отличие от сложения матриц, в общем случае не

выполняется перестановочность. Это значит, что АВ ≠ ВА для квадратных матриц, хотя для некоторых квадратных матриц оказывается АВ=ВА.

19

Матрицы, для которых верно АВ=ВА, называются перестановочными. Пример 2.5. Найти матрицы перестановочные с матрицей:

3		5
A =
	7	4

Пусть неизвестная матрица В перестановочная с матрицей А есть:

x	y
B =
z	u

Тогда справедливо АВ=ВА, и после перемножения матриц имеем:

3x +5z

3y +5u

x

y

3

5

3x +7y

5x + 4y

AB =

= BA =

=

7x + 4z

7y + 4u

7

4

3z +7u

5z + 4u

z

u

Поскольку равенство матриц означает систему поэлементных равенств, для всех четырех неизвестных элементов получаем четыре уравнения:

3x +5z = 3x + 7 y 3y +5u = 5x + 4y 7x + 4z = 3z + 7u 7 y + 4u = 5z + 4u

Понятно, что эта система имеет тривиальное решение, так как ему соответствует нулевая матрица второго порядка – перестановочная со всеми матрицами второго порядка. Однако могут быть и другие перестановочные матрицы. Действительно, из первого и последнего уравнений имеем:

5z = 7 y

а из второго и третьего

y = 5u −5x z = 7u −7x

Таким образом, любая матрица перестановочная с матрицей А представляется в виде:

	x	5(u − x)
B =
7(u − x)		u

Это значит, что элементы на главной диагонали матрицы В можно задавать произвольно, а на побочной – получать умножением разности элементов на главной диагонали на 5 и на 7. В частности, при x=u=1 получаем единичную матрицу. Так и должно быть, ибо единичная матрица – перестановочная с любой матрицей.

Задача 2.3. Найти матрицы перестановочные с матрицами:

1)	5		1		7		1		3)	7		1		7		1
					2)									4)
		8	3			8	3				4	3			4	9

Какие общие особенности имеют найденные перестановочные матрицы? Наряду с новым свойством – неперестановочностью умножения матриц, в общем случае, имеется общее свойство умножения произвольных трех

матриц, которое совпадает со свойством умножения чисел.

Пример 2.6. Перемножить три квадратные матрицы А, В, С, если:

	− 2 3		1		8		C	31		− 7
A =			B =					=
	5 4			9	4				5	6

20

Для перемножения трех матриц, также как и трех чисел, можно перемножить сначала матрицы А и В, а потом результат умножить на матрицу С. Но можно поступить по-другому: умножить матрицу А на результат умножения матриц В и С. Рассмотрим, что получится с матрицами в этих двух случаях. Имеем:

	−2 3		1		8		−2 +27		−16 +12			25	−4
AB =							=				=
	5 4			9	4			5 +36	40 +16			41 56

Поэтому для (АВ)С получаем:

	25	− 4		1	7			25	− 20	25 × 7 + 8			5	183
		56			−	=			+ 280	41 × 7 − 56 ×	=			175
41			5			2	41				2	321

Вторым способом получаем сначала:

1		8 1			7		1		+40 7	−16		41	−9
BC =							=				=
	9	4		5	−2			9				29 55
									+20 63−8

Теперь находим:

−2		3			41	−9		−82			+87	18 +165			5	183
A(BC) =								=						=
	5	4			29	55			205	+116		−45 + 220			321
																175

(АВ)С=А(ВС). Поэтому можно говорить об ассоциативности умножения матриц и матрице АВС.

Задача 2.4. Проверьте, что равенство А(ВС)=(АВ)С выполняется для матриц:

	7	−1		6			5		B = (− 3 4)		− 5
1)A =	4		B = C = (1 3)		2)A =					C =
		3		1			2				3
Как видно, получилось, что (АВ)С=А(ВС). Так же, как с числами.
При умножении				трех матриц		всегда			выполняется		равенство

	6	−1		3
3)A =			B = C = (2 0)
0		4		−1

Решение этих задач показывает, что иногда проще находить АВС, перемножив сначала А на В, а после этого найти (АВ)С. Иногда проще находить сначала произведение В на С, а затем А(ВС). Это совпадает с умножением трех чисел.

Замечание. Умножение матриц обладает еще одной особенностью. Может оказаться, что произведение двух ненулевых матриц равно нулевой матрице. Действительно, нетрудно проверить, что произведение матриц АВ равно нулевой матрице, если:

	1	− 2		2	− 2
A =	−1		B =		−1
		2	1

Задача 2.5. Убедитесь, что произведение АВ указанных матриц А и В равно нулевой матрице, а ВА не равно нулевой матрице.

21