x, y, z

2.10.Линейные пространства

2.10.1.Основные понятия

Пусть в множестве R элементов x, y, z,... для любых двух элементов x и y определена их сумма z = x + y и для любого числа λ и любого элемента x из R, т.е. xr R , определено произведение u = λx . Это значит, что x, y, z, u R .

Пусть сложение элементов R удовлетворяет условиям:

1.x + y = y + x ;

2.(x + y) + z = x + ( y + z) ;

3.Существует такой элемент 0 R , что x +0 = x для всех xr R . Этот

элемент называется нулем R;

4. Для каждого xr R существует элемент y R такой, что x + y = 0 (его записывают обычно y = −x ); а умножение элементов R на числа и сложение

удовлетворяют условиям:

• 1×xr = x ;

• λ(µxr)= (λµ)xr;

• (λ + µ)x = λxr + µxr ;

• λ(xr + yr)= λxr + λyr .

Тогда множество R называется линейным пространством, а элементы этого пространства называются векторами. Иногда R называется ли-

нейным векторным пространством.

Пример 10.1. Убедитесь, что множество всех геометрических векторов является линейным пространством.

Сложение геометрических векторов и умножение их на числа удовлетворяют условиям 1) – 4). Поэтому они образуют линейное векторное пространство.

Разностью векторов xr и y из линейного пространства R называется вектор z , который удовлетворяет y + z = x . Вектор z обозначают через x − y , то есть z = x − y = x + (−y) .

Справедливы следующие утверждения:

1.В каждом линейном пространстве существует только один нулевой вектор.

2.Для каждого вектора xr линейного пространства существует только один противоположный вектор.

3.Для каждого вектора xr R верно 0×xr = 0 .

4.Из равенства λxr = 0 следует, что верно одно из равенств λ = 0 и xr = 0r. Пример 10.2. Пусть R – множество упорядоченных чисел (ξ1 ,ξ2 ,...,ξn ),

(η1 ,η2 ,...,ηn ) и (ς1 ,ς2 ,...,ςn ). Сумма их определяется равенством

(ξ1 ,ξ2 ,...,ξn )+ (η1 ,η2 ,...,ηn )= (ξ1 +η1 ,ξ2 +η2 ,...,ξn +ηn ),

апроизведение любого элемента на число равенством:

λ(ξ1 ,ξ2 ,...,ξn )= (λξ1 , λξ2 ,..., λξn ).

83

Доказать, что это множество является линейным пространством.

Обозначим xr = (ξ1 ,ξ2 ,...,ξn ), y = (η1 ,η2 ,...,ηn ), z = (ς1 ,ς2 ,...,ςn ).

Проверим выполнение условий 1) – 4).

1.		(ξ1 +η1 ,ξ2	+η2 ,...,ξn +ηn )= (η1 +ξ1 ,η2 +ξ2 ,...,ηn +ξn );
2.		xr + yr = (ξ1	+η1 ,ξ2	+η2 ,...,ξn +ηn ), y + z = (η1 +ς1 ,η2 +ς2 ,...,ηn +ςn ), поэтому
(xr + yr) + zr = (ξ1 +η1			+ς1 ,ξ2	+η2 +ς2 ,...,ξn +ηn +ς3 )= x + ( y + z) ;
3.		= (0,0,...,0) , т.к.		x + 0 = (ξ1 + 0,...,ξn + 0) = x ;
	0
4.	(−ξ1 ,.. −ξn ) + (ξ1 ,...,ξn ) = (0,...,0) .

Остальные равенства проверяются аналогично.

Пример 10.3. Множество всех решений системы линейных однородных уравнений

a x +b y + c z = 0			(10.1.1)
1	1	1
a2 x +b2 y + c2 z = 0

образует линейное пространство.

Действительно, если (x1 , y1 , z1 ) и (x2 , y2 , z2 ) – два решения системы

(10.1.1), то a1 x1 +b1 y1 + c1 z1 =0 и a1 x2 +b1 y2 + c1 z2 =0. Поэтому

a1 (x1 + x2 ) +b1 ( y1 + y2 ) + c1 (z1 + z2 ) = (a1 x1 +b1 y1 + c1 z1 ) + (a1 x2 +b1 y2 + c1 z2 ) = 0 + 0 = 0

и аналогично для второго уравнения. Следовательно сумма решений системы (10.1.1) является ее решением. Так же проверяется то, что решением является произведение любого решения на произвольное число.

Задача 10.1. Убедитесь, что множество всех квадратных матриц второго порядка является линейным пространством.

Задача 10.2. Пусть в множестве всех упорядоченных систем четырех чисел (ξ1 ;ξ2 ;0;0) сложение элементов и умножение на числа определены так же,

как в примере 10.2. Является ли это множество линейным пространством? Задача 10.3. Является ли множество упорядоченных систем четырех чи-

сел (ξ1;ξ2 ;1;1) таковым, если в этом множестве сложение элементов и умножение на число определены так же, как в задаче 10.2., линейным пространством?

2.10.2. Линейно независимые вектора и базис линейного пространства

Пусть	xr, yr,zr,...,ur произвольные вектора	линейного пространства
R,α, β,γ,...,δ	– заданные числа. Тогда вектор
	vr = αxr +βyr + γz +... +δu	(10.2.1)

называется линейной комбинацией векторовxr1 , yr1 , zr1 ,...,ur. Векторы xr1 , yr1 , zr1 ,...,ur называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только при α = β = γ = ... = δ = 0 .

Если линейная комбинация удовлетворяет αxr + βyr +γzr +... +δur = 0 и в тех случаях, когда не все числа α, β,γ,...,δ равны нулю, то вектора xr, yr, zr,..., u на-

зываются линейно зависимыми.

84

Ясно, что вектора x, y, z,...,u линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно записать в виде линейной комбинации остальных.

Пример 10.4. Показать, что вектора x, y,z,..., u линейно зависимы, если

среди них имеется нулевой вектор. Действительно, выбирая отличное от ну-
ля число α, если	r	r	, сразу получаем, что при α ≠ 0	и β = γ = ... = δ = 0 ли-
	x	= 0

нейная комбинация векторов равна 0 .

Пример 10.5. Элементами линейного пространства являются системы упорядоченных чисел xri = (ξi1,ξi2 ,...ξni ) , i =1,2,...n . Какому условию должны

удовлетворять числа ξik , i, k =1,2,..., n для того, чтобы вектора xr1 , xr2 ,..., xrn , были линейно независимыми, если сумма векторов и произведения векто-

ра на число определяются равенствами									xri	+ xrk = (ξi1 +ξk1 ,ξi 2 +ξk 2 ,ξin +ξkn ) ,
λxri = (λξi1 ,λξi2 ...,λξin ) ?
Векторное равенство α1 xr1 +αxr2					+... +αxrn = 0					эквивалентно системе коор-
динатных равенств, т.е. системе линейных алгебраических уравнений:
		α1ξ11		+ α2 ξ21		+... + αn ξn1					= 0
				+ α2 ξ	22	+... + αn ξn 2					= 0
		α1ξ12
		.............................................
				+ α2 ξ2n		+... + αn ξnn					= 0
		α1ξ1n
Эта система всегда имеет решение α1									=α2		= ... =αn = 0 и оно является
единственным (по правилу Крамера), если
	ξ11	ξ21		......	ξn1
	ξ12	ξ22		......	ξn 2			≠ 0			(10.2.2)
	....... ...... ...... ......
	ξ1n	ξnn		......	ξnn
Следовательно вектора			xr1 , xr2 ,..., xrn линейно независимы тогда и только
тогда, когда верно (10.2.2).										ar = (ξ11 ,ξ12 ,ξ13 ) , br = (ξ21 ,ξ22 ,ξ23 ) ,
Пример 10.6. Доказать,			что три вектора

cr = (ξ31 ,ξ32 ,ξ33 ) линейно зависимы, если они лежат в одной плоскости (ком-

планарны).

Смешанное произведение таких векторов равно нулю и определяется определителем (10.2.2). Можно поступить иначе: перенести вектора к общему началу и разложить один из них на составляющие, коллинеарные двум другим векторам.

Задача 10.4. В каком случае вектора xr = (ξ1 ;ξ2 ) и yr = ( y1 ; y2 ) линейно зависимы?

Если в линейном пространстве имеется n линейно независимых векторов, но любые n+1 векторов зависимы, то пространство R называется n-

мерным линейным пространством.

85

Совокупность любых n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Основная теорема о базисе: каждый вектор n-мерного линейного пространства единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть а1 , а2 ,...,.аn – вектора n-мерного пространства R. Тогда, в силу основной теоремы, вектор xr R можно единственным образом записать в виде:

		x =α1a1 +α2 a2 +.... +αn an
Числа	α1 ,α2 ,....,αn	называются		координатами	вектора xr в	бази-
сеа1 , а2 ,...,.аn .
Пример 10.7. Доказать, что вектора e1 = (2;3) и e2					= (4;5) образуют базис
пространства векторов xr1 = (ξ11 ;ξ12 ) , x2				= (ξ21 ;ξ22 ) , если xi + xk = (ξi1+ξk1 ;ξi2		+ξk 2 ) ,
λxi = (λξi1 ;λξi2 ) .
Векторы e1 и e2 линейно независимы, т.к. ξ11 ×ξ22 −ξ12 ×ξ21 =2×5−3×4=−2≠0.
Покажем, что для любого			yr = (η1 ;η2 )	можно найти такие λ и µ , чтобы вы-
полнялось	yr = λer1 + µer2 ,	т.е.	(η1 ;η2 ) = (2λ + 4µ;3λ +5µ) . Это следует из того, что

система уравнений:

2λ + 4µ = η1

3λ +5µ = η2

имеет определитель матрицы коэффициентов при неизвестных 2×5 −3×4 ≠ 0 . Пример 10.8. Показать, что пространство, элементами которого являют-

ся вектора

x = (ξ1 ;ξ2 ...ξn )

имеет

своим

базисом

совокупность

векторов

er1 = (1;0;0;...0) ,

er2 = (0;1;0;...0) ,….., en

= (0;0;0;...1) .

Нетрудно

видеть,

что:

x =ξ1e1 +ξ2e2 +.... +ξn en , а

вектора e1 ,e2 ,...,en

линейно

независимы.

Поэтому

пространство

является

n-мерным

линейным

пространством,

и

вектора

e1 ,e2 ,...,en образуют базис.

Задача 10.5 Показать,

что матрицы

r

=

1

0

,

r

0

2

r

0

0

e1

e2

=

,

e3

=

,

0

0

3

0

0

0

er4 = 0 0 образуют базис линейного пространства, элементами которого яв-

0 4

ляются все матрицы второго порядка.

Задача 10.6. Показать, что e1 = (1;8) , e2 = (8;1) принадлежат линейному пространству, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары чисел (ξ1 ;ξ2 ) с обычным сложением векторов и умножением вектора на числа.

Задача 10.7. Доказать, что множество векторов e1 = (1;1;1;...1) , er2 = (0;1;1;...1) , e3 = (0;0;1;...1) er4 = (0;0;0;...1) образуют базис n-мерного пространства векторов обычным сложением векторов и умножением векторов на числа.

86