Замечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю, ибо все элементы равны нулю.

Предупреждение. Ранг любой матрицы не может быть больше, чем число ее строк и столбцов, т.е. для матрицы А размера m×n верно:

0 ≤ rang ( A ) ≤ min( m , n )

Указание. Ранг матрицы не меняется после транспонирования матрицы, а также после элементарных преобразований ее строк и столбцов.

Задача 5.6. Найти ранг матрицы и указать ее базисные миноры:

0	4	10	1	8		− 1 6		− 7		14 12 6			8		2
1) 4	8	18	7		2) 2	0	4	− 1		3) 6	4	21 9		17
10 18 40 17				0		1	10	3		7	6	3	4		1
	7	17	3			4	52	9			30	15	20		5
1					16					35

2.5.3. Основная теорема о ранге матрицы

Теорема. Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк и столбцов. Базисные строки и столбцы любой матрицы линейно независимы, а все другие ее строки и столбцы являются линейными комбинациями базисных строк и столбцов.

Утверждение теоремы следует из определения ранга матрицы, минора матрицы и свойств определителя. Действительно, отличие от нуля базисного минора означает линейную независимость его строк и столбцов, а равенство нулю всех определителей, порядок которых больше ранга матрицы, – линейную зависимость их строк и столбцов.

Пример 5.9. Найти линейно независимые строки матрицы:

2		− 7	− 3	6
	3	− 5	5	− 6
	4	− 2	3	− 9
	5	4	− 6	− 8

После последовательного вычитания 3-й строки из 4-й, 2-й строки из 3-й, а 1-й строки из 2-й строки данной матрицы, получаем:

2		− 7	− 3 6			2		− 7 − 3		6
	3	− 5	5	− 6			1	2	8	−12
	4	− 2	3	− 9		~	1	3	− 2	− 3
	5	4 − 6		−8			1	6	− 9	1

Теперь переставим 1-ю и 3-ю строки, получившуюся 1-ю строку вычтем из 2-йи 4-й строк и ее же, удвоенную, из третьей строки. Тогда имеем:

1		3	− 2	−3		1		3	− 2	−3		1		3	− 2	−3
	1	2	8	−12			0	−1 10 −9					0	−1	10	−9
	2	− 7	−3	6		~	0	−13 1 12				~	0	−1	− 27 28
	1	6	−9	1			0	3	− 7	4			0	3	− 7	4

55

Здесь при последнем элементарном преобразовании учетверенная последняя строка прибавлена к третьей строке. После вычитания второй строки из третьей и прибавления утроенной второй строки к последней строке, находим:

1		3	− 2	− 3			1	3	− 2 − 3
	0	−1 10		− 9			0	−1 10 − 9
	0	−1	− 27 28			~	0	0	− 37 37
	0	3	− 7	4			0	0
									23 − 23

Поскольку последние две строки полученной матрицы пропорциональны, ее единственный минор четвертого порядка равен нулю. Таким образом, ранг исходной матрицы равен 3. При этом базисный минор полученной матрицы можно выбрать из первых 3 строк и первых 3 столбцов. Так как при элементарных преобразованиях были переставлены 1 и 3 строчки, в исходной матрице также линейно независимы первые 3 строки и 3 столбца.

Предостережение. При определении базисных строк всегда необходимо учитывать все перестановки строк, которые имели место при элементарных преобразованиях, как это было в приведенном примере.

Рекомендация. Выбор линейно независимых строк и столбцов, как правило, можно производить различными способами. При этом необходимо, чтобы минор, составленный из таких строк и столбцов, отличался от нуля. Всегда полезно проверять это условие.

Задача 5.7. Найти ранг матрицы и ее базисные строки:

	3	6 2	1		3 7			8	2		6 3			5	− 4		− 3 8			7	4
	5	10 4	3			2	5	9	3			5	4	7	− 3			5	− 9	− 8 − 5
1)					2)						3)						4)
	11 22 8		5			6	13 5 −1					0	− 9	−17 − 2				3	5	4	1

2.5.4.Теорема Кронекера-Капелли

Впримерах 5.1. и 5.2. существование решения зависело от коэффициентов при неизвестных и правых частей системы уравнений. Этот факт показывает, что для систем уравнений с большим числом неизвестных и уравнений также важна взаимосвязь коэффициентов при неизвестных и правых частей уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений несовместна, если ранг матрицы коэффициентов при неизвестных меньше ранга расширенной матрицы. Если ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен рангу расширенной матрицы, то система уравнений совместна.

Если система уравнений совместна, то она является определенной, когда число неизвестных n системы равно общему рангу r матриц коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы. Решение такой системы можно найти по правилу Крамера.

56

Если система уравнений совместна и r < n , то система неопределенна, т.е. имеет бесконечно много решений.

Числом свободных переменных в такой системе называется разность s = n −r . Значения свободных переменных можно задавать произвольно. Все переменные, которые не являются свободными, называются базисными. В качестве базисных переменных всегда можно выбирать переменные, которые соответствуют базисному минору матрицы коэффициентов при неизвестных. Такой минор получается при отыскании ранга матрицы.

Пример 5.10. Исследовать систему уравнений, найти ее решение и сделать проверку:

3x + 5x			2		+ 2x	− 2x		4	= 2
	1				3
2x1		+ 7x2			+ 3x3 − x4 = 3					(5.4)
	9x	+ 4x		2	+ x	− 7x	4		=1
	1				3

С помощью элементарных преобразований строк матрицы коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы системы получаем:

3 5 2 − 2					2		1 − 2			−1 −1		−1		1 − 2			−1 −1		−1		1 − 2 −1−1						−1
	2	7	3 −1		3			2	7	3 −1		3			0	11	5 1		5			0	11	5	1		5
							~							~							~
	9	4	1 − 7		1			0	−11	− 5 −1		− 5			0	−11	− 5 −1		− 5			0	0	0	0		0

Следовательно, ранги матриц А и (А|В) равны 2, а базисными переменными можно выбрать х1 и х2. Полагая свободные переменные х3 =с3 и х4 =с4, находим теперь:

х1= (-1+ с3 +9c4)/11, х2=(5-5c3 –c4)/11, х3 =c3, х4 =c4 (5.5)

Подставляя найденные х1, х2, х3, х4 в исходные уравнения получаем равенства. Таким образом, действительно найдено решение системы (5.4).

Из (5.5) можно найти любое решение системы уравнений (5.4), изменяя, произвольно задавая постоянные с3 и с4. Поэтому вводится следующее определение.

Общим решением неопределенной системы линейных алгебраических уравнений называется такое решение системы, из которого можно получить все возможные решения изменением произвольных констант.

Система линейных алгебраических уравнений АХ=В называется неод-

нородной, если хотя бы в одном уравнении правая часть отлична от нуля. Это значит, что в неоднородной системе уравнений В≠0.

Система уравнений АХ=0 называется однородной системой, соответст-

вующей неоднородной системе уравнений АХ=В. Всякое однородное уравнение всегда имеет нулевое решение. Оно называется тривиальным. Однородная система имеет нетривиальное решение только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при неизвестных r меньше числа неизвестных в системе n. Такие однородные системы имеют n-r независимых решений.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется совокупность ее n-r независимых решений.

57

Каждое решение системы неоднородных уравнений всегда представляется в виде суммы одного из частных решений этого неоднородного уравнения и линейной комбинации фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения.

Задача 5.8. Проверьте, что решение (5.5) системы уравнений (5.4) есть сумма частного решения х1=-1/11, x2=5/11, x3= 0, x4=0 и двух независимых решений х1=1, x2=-5, x3=1, x4=0 и х1=9, x2=-1, x3=0, x4=1 соответствующей системы однородных уравнений.

Задача 5.9. Исследовать систему, найти ее решение и сделать проверку:

5x		+ 2x	2	+ 4x			3		− x			4	− 6x			5			= 8			x − x		2			+ 3x		3	− 7x			4	= 5
	1																					1
1) 3x1 + x2 + 3x3 − x4 − 4x5 = 5 2) 3x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = 7
4x + 3x			2	− x		3		+ 2x				4	− 2x			5			= 5		2x − 2x				2		+14x			3	− 31x				4	= 5
	1																					1
		2x			+ 3x					2	− x		3	− x			4			= 2	3x		+ 4x			2		− x		+ 2x		4		= 6
				1																		1						3
		3) 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 3 4) x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 5
		x			+ 8x			2		− 3x				−	4x			4		=1	2x		+ 5x			2		+ 4x			− x	4		= 8
		1										3										1							3

Вопросы для самостоятельного контроля

1.Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

2.Какая матрица называется расширенной для системы линейных алгебраических уравнений?

3.Какие бывают системы линейных алгебраических уравнений?

4.Что такое совместная система?

5.Что такое несовместная система?

6.Что такое минор к-гопорядка матрицы?

7.Что такое ранг матрицы?

8.Какая матрица называется ступенчатой?

9.Что такое базисный минор матрицы?

10.Что утверждает основная теорема о ранге матрицы?

11.Что утверждает теорема Кронекера-Капелли?

12.Чем отличаются базовые и свободные переменные?

13.Какие системы называются однородными?

14.Какие системы называются неоднородными?

15.Что такое общее решение системы линейных алгебраических уравнений?

58