Пример 7.15. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
A(2;5;4), B(4;7;1) C(4;8;3) и D(-2;3;5).
|
|
|
Имеем |
→ |
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
AB = (2;2;−3) , AC = (2;3;−1) , |
AD = (−4;−2;1) . Их смешанное произве- |
|||||||||||||||||||||||||
дение |
есть: |
|
|
2 |
2 |
−3 |
|
= 2(3 − 2) − 2(2 − 4) −3(−4 +12) = 2 + 4 − 24 = −18 . |
Поэтому |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
|
1 |
|
−18 |
|
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Задача 7.14. Вычислить смешанное произведение векторов |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
+ b , |
b |
+ c |
|||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c |
− a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача |
7.15. |
|
Найти смешанное |
произведение |
векторов |
→ |
= |
→ |
− |
→ |
→ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 i |
j− k , |
|||||||||||||||||||||||
→ |
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
= i +3 j |
− k |
и c = i |
+ j |
+ 4 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Задача |
7.16. |
Показать, что вектора |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
и |
||||||||||||||
|
|
|
a |
= 6 i +5 j+ |
7 k , |
b |
= 3 i |
+ j− k |
|||||||||||||||||||||
→ |
= |
|
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
3 i |
+ 2 j+ 2 k компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 7.17. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(1;1;1), B(3;2;2), C(3;4;3) и D(4;4;5).
Задача 7.18. Показать, что точки A(4;6;-3), B(2;0;2), C(8;3;-5) и D(0;4;-1)
лежат в одной плоскости.
Вопросы для самостоятельного контроля
1.Что такое вектор?
2.Что такое координаты вектора?
3.Как находится длина вектора?
4.Как находится сумма двух векторов?
5.Что такое произведение вектора на число?
6.Что такое скалярное произведение двух векторов?
7.Что такое векторное произведение двух векторов?
8.Что такое смешанное произведение векторов?
9.Как найти вектор, если известны координаты его концов?
10.Как найти площадь параллелограмма, если известны координаты его вершин?
11.Как найти площадь треугольника, если известны координаты его вершин?
12.Как найти объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин?
13.Чему равно скалярное произведение ортогональных векторов?
14.Как найти угол между векторами?
70