4. Глоссарий

Алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A – число Aij = (−1)i + j M ij , где Mij – определитель матрицы, которая получается после вычеркивания i-й строки и j-го столбца матрицы A .

Базис – совокупность линейно независимых векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства (он линейно зависим после добавления любого ненулевого вектора пространства).

Векторное пространство – множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на скаляры, не выводящие из этого множества.

Действия над матрицами – умножение матрицы A на число						λ	, A	λ
имеет элементы	aij λ ,	сложение C = A + B,		cij = aij +bij ,	умножение C = AB			с
элементами c ij	= ∑l	a ik b kj	, где l – одинаковое число столбцов в А и
строк в В.	k =1
Линейная	комбинация		векторов	a1 , a2 ,..., ak	– это новый	вектор
a = a1λ1 + a2 λ2 +... + ak λk , где λ1 ,λ2 ,...,λk – произвольные числа.

Линейная зависимость векторов { a1 , a2 ,..., ak } – возможность соста-

вить нетривиальную линейную комбинацию из этих векторов, равную нулевому вектору ( a1λ1 + a2 λ2 +... + ak λk = 0 , где λ12 + λ22 +.. + λ2k ≠ 0 .

Линейная независимость векторов a1 , a2 ,..., ak – совокупность векто-

ров, линейная комбинация которых равна нулевому вектору только в тривиальном варианте (при λ1 = λ2 = ... = λk = 0 ).

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел или элементов любой другой природы. Различают прямоугольные, квадратные, диагональные, невырожденные и нулевые матрицы. Элемент матрицы A , который находится на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы обозначают aij .

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных при отыскании решения системы линейных алгебраических уравнений.

	Минор k-го порядка матрицы – определитель k -го порядка. состав-
ленный из		элементов, которые находятся					на пересечении произвольных
k строк и k		столбцов исходной матрицы.
риц	Обратная матрица – определена для квадратных невырожденных мат-
	A , т.е. при			A		≠ 0 ; Обозначается A−1	и удовлетворяет равенствам
AA−1	= A−1 A = E , где E – единичная матрица: eii =1,eij = 0 , если i ≠ j .

104

Общее решение системы AX = B – все без исключения решения данной системы, из которого при фиксированных значениях произвольных постоянных можно найти все частные решения.

Общее уравнение прямой и плоскости – уравнение вида ax +by + c = 0

для прямой на плоскости, вида ax +by + cz + d = 0 для плоскости в пространст-

ве, пересечения двух плоскостей, a1 x + b1 y + c1z + d1 = 0 , a2 x +b2 y + c2 z + d2 = 0 – уравнения прямой в пространстве. Здесь всюду хотя бы один из коэффициентов при координатах x, y, z ≠ 0 .

Однородная система линейных алгебраических уравнений – система уравнений с равными нулю правыми частями.

Определитель матрицы A – число, которое определяется только для

n

квадратных матриц. Обозначается A . A = ∑aijAij , где i – номер выбранной

j=1

строчки, Aij – алгебраическое дополнение элемента aij .

Переменные базисные и свободные в системе AX = B – базисные пе-

ременные общего решения системы с n неизвестными – это любые r переменных, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля; остальные n − r переменных – свободные, где r = r(A) .

Правило Крамера – отыскание единственного решения системы совместных линейных алгебраических уравнений AX = B , когда det(A) = ∆ ≠ 0

по правилу: xk = ∆∆k , k =1,2,..., n , где ∆k – определитель матрицы, получен-

ной из A заменой ее k -го столбца столбцом свободных членов B .

Размерность пространства – максимальное число линейно независимых векторов в пространстве, т.е. число векторов в базисе.

Ранг матрицы – максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы. Используется для определения максимального числа линейно независимых строк и столбцов матрицы и совместности произвольной системы линейных алгебраических уравнений.

Расширенная матрица для системы линейных алгебраических уравнений AX = B – матрица, коэффициентов при неизвестных и правых частей всех уровней систем.

Система линейных алгебраических уравнений – совокупность m ли-

нейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 ,..., xn , для которой требуется найти такой набор чисел α1 ,α2 ,...,αn , после подстановки которых вместо x1 , x2 ,..., xn , каждое уравнение превращается в верное числовое равенство.

Скалярное произведение n -мерных векторов – число, равное сумме произведений одноименных координат векторов: (x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .

105

C = AB

Совместная система линейных алгебраических уравнений – система линейных алгебраических уравнений, имеющая хотя бы одно решение. Необходимое и достаточное условие совместности – равенство рангов расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных.

Структура общего решения системы линейных алгебраических уравнений – сумма частного решения неоднородной системы и фундаментального решения соответствующей однородной системы.

Теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: система совместна тогда и только тогда, когда равны между собой ранги матриц коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы( rg(A) = rgA B ).

Умножение матриц – определено для матриц цов в A равно числу строк в B , элементы

A и B , если число столбвычисляются по формуле

cij = ∑l	aik bkj , i =1,2,..., m, j =1,2,..., n.
k =1

Элементарные преобразования матриц – преобразования строк или столбцов матрицы, к которым относятся умножение строки на число, отличное от нуля, перестановка строк местами, прибавление к строке другой строки, умноженной на любое число.

5. Литература

Основная литература

1.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2000. – 688 с.

2.Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: ABF, 1995. – 480 c.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа. Часть 1, 1974. – 304 с.

Дополнительная литература

1.Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: УРАО, 2001. – 129 с.

2.Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: Ин-

фра-М., 1998. – 463 с.

3.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов. – М.: Банки и биржи,

ЮНИТИ, 1997. – 439 с.

4.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М., 1981.

106