2.4. Использование определителей для вычисления обратной матрицы и решения систем линейных уравнений

2.4.1. Отыскание обратной матрицы с помощью определителей

При вычислении обратных матриц для матриц второго порядка было обнаружено правило отыскания обратной матрицы с помощью определителя и присоединенной матрицы. Это правило обобщается для отыскания обратных матриц произвольного порядка. Только в общем случае присоединенные матрицы находятся из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы. Начнем с отыскания обратной матрицы второго порядка.

Пример 4.1. Найти обратную матрицу для матрицы:

3		5
A =		.
	8
		13

Здесь A = 39 − 40 = −1. Поскольку определитель отличен от нуля, обрат-

ная матрица существует и равна присоединенной матрице, деленной на определитель матрицы А.

Для отыскания присоединенной матрицы найдем алгебраические дополнения А11=13, А12= -8, А21= -5, А22= 3. Теперь составим присоединенную матрицу:

(		13	−5
A =
		−8	3

Заметим, что в этой матрице на пересечении i-й строки и j-го столбца поставлено алгебраическое дополнение Аji, а не Аij . Эта особенность связана с правилом умножения матриц: элементы произведения находятся из строки одного сомножителя и столбца второго.

Поскольку в данном примере A = -1, получаем:

(	−13		5
A−1 = −A =			.
		8
			−3

Проверкой легко убедиться, что найдена обратная матрица, так как

	−13 5	3		5	−39 + 40		0		1		0
A−1A =					=				=
			8			0	40 −39			0	1
	8 −3			13

Этот пример показывает, что для вычисления обратной матрицы надо:

1)найти определитель матрицы А. Если он окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель не равен нулю, надо перейти к следующему пункту;

2)найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и заменить каждый элемент его алгебраическим дополнением;

3)транспонировать полученную матрицу, т.е. найти присоединенную матрицу для матрицы А;

4)получить А-1 умножением присоединенной матрицы на A −1 ;

5)сделать проверку, т.е. убедиться, что АА-1=Е.

41

Предупреждение. Не забывайте учитывать суммы мест элементов, для которых находятся алгебраические дополнения.

Указание. Проверьте самостоятельно, что этот алгоритм легко реализуется для произвольных матриц второго порядка.

Задача 4.1. Используя определители и алгебраические дополнения элементов матриц, найти обратные матрицы и сделать проверку:

A

7

−5

A

−3

4

A

5

−3

A

9

−5

1

=

2

=

3

=

4

=

−3 2

− 7

9

−9 8

−5 4

Предупреждение. Для матриц выше второго порядка вычисление алгебраических дополнений элементов при выполнении пункта 2 требует значительных вычислений, так как приходится найти n2 определителей порядка n - 1. Такая работа требует терпения, упорства и, после проверки правильного результата, всегда порождает удовольствие.

Указание. При отыскании обратной матрицы полезно фиксировать алгебраические дополнения элементов, поскольку они нужны для вычисления обратной матрицы.

Пример 4.2. Используя определители, найти обратную матрицу для:

3		− 4	6
	2	−3	1
A =
	−3	5	1

1) Начнем с вычисления определителя. Имеем:

A 11 =	− 3	1	= −3 − 5 = −8 , A 12	= −	2	1	= −5 , A 13	=	2	−	3	= 1
	5	1			− 3	1			− 3	5

Поэтому A = 3(−8) −4(−5) +6 = −24 + 20 +6 = 2 .

Поскольку определитель не равен нулю, обратная матрица существует. 2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А и заменим

каждый элемент матрицы А его алгебраическим дополнением:

A11		= −8, A 21			= −		− 4		5		= 34, A 31			=		− 4	− 3		=14, A12			= −5, A 22			=		3	−3		= 21
							6		1							6	1										6	1
A	32	= −	3	2	= 9, A			13	=1, A			32	= −	3		−3	= −3, A			33	=	3	2		= −1
			6	1										− 4 5								− 4 −3

Таким образом, получили матрицу:

−8		−5	1
	34	21
			−3
	14	9	−1

3) Транспонируя эту матрицу, найдем присоединенную матрицу:

(	−8		34	14
		−5	21	9
A =
		1	−3
				−1

42

4) Поскольку определитель матрицы А равен 2, получаем:

							1			−8 34 14						−4		17					7
	A		−1		=						−5	21	9			−5 / 2	21/ 2					9 / 2
														=
							2
											1					1/ 2	−3/ 2					−1/ 2
5) Проверка:												−3 −1
						1				−8 34 14					3 −4 6					1		2	0	0
A	−1	A		=						−5 21 9					2 −3 1				=			0	2	0
						2														2
															−3 5 1							0	0	2
										1 −3 −1

Указание. Полезно проверять каждую строку присоединенной матрицы сразу после ее получения умножением полученной строки на матрицу А. При этом возможные ошибки сразу локализуются.

Замечание. Сформулированное правило отыскания обратной матрицы означает, что элементы обратной матрицы выражаются через алгебраические дополнения и определитель исходной матрицы в виде:

aij−1 = AAji

где слева выписан элемент i-й строки и j-го столбца обратной матрицы, а в числителе правой части – алгебраическое дополнение элемента на пересечении j-й строки и i-го столбца исходной матрицы.

Доказательство того, что применение изложенного алгоритма всегда дает обратную матрицу, если она существует, опирается на фактически полученное выше равенство для сумм произведений:

Ai1ak1 + Ai 2 ak 2 +... + Ain akn = 0

при всех i ≠ k , а при i = k сумма в левой части равна A .

Пояснение. При i = k сумма в левой части есть разложение определителя по i-й строке. Она равна определителю матрицы А. При i ≠ k в каждом слагаемом суммы элемент определителя и алгебраическое дополнение берутся из разных столбцов, хотя и из одной и той же строки. Это значит, что сумма равна величине определителя, имеющего одинаковые строки. Но такие определители равны нулю на основании четвертого свойства определителей.

Задача 4.2. Найти обратные матрицы, используя определители и алгебраические дополнения элементов матриц:

	3	−1	0			5	4	1			4	−1 1			1	1	1	1
															2	0	3	3
	− 2 1 1					2	7	3			2	5
A =					B =					C =			3	D =	1	1	0	2
	5	−1	4			6	1	0			7	0
													3		1	1	1	0

Указание. Тщательно проверяйте вычисления алгебраических дополнений. Для последней матрицы проверяйте отдельные строки присоединенной матрицы.

43

2.4.2. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Обратная матрица была введена для того, чтобы записать решение системы линейных алгебраических уравнений АХ=В с квадратной матрицей А в виде Х=А-1В. Воспользуемся теперь алгоритмом отыскания обратной матрицы, изложенном в предыдущем разделе, для нахождения решения таких систем линейных алгебраических уравнений. Конечно, это можно сделать только тогда, когда обратная матрица А-1 существует.

Пример 4.3. Найти решение системы уравнений:

3x − 4y + 6z = −2
	2x +5y +3z = 34
	7x +3z = 9

Эта система эквивалентна матричному уравнению АХ=В, где

3	− 4	6	− 2
A = 2	5	3	B =	34 X
7	0	3		9

x

=yz

Для отыскания его решения с помощью обратной матрицы надо найти: 1) обратную матрицу А-1 , 2) Х= А-1В.

Имеем:

				=		3				− 4					6			= 7				− 4			6			+ 3					3		6		= 7(−12 − 30 ) + 3(15 + 8) = −294 + 69 = −225
	A					2					5				3
						7					0				3							5			3								2		5
																				≠ 0 , обратная матрица существует.
	Поскольку															A
	2) алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
A11				=				5			3		=15, A12										= −			2				3			= −(6 −21) =15, A13 =													2	5		= −35
								0			3															7				3																7	0
A21				= −						−4			6			=12, A22									=				3			6		= 9 −42 = −33, A23										= −			3		−4	= −28
									−	0		3																	7			3															7	0				−4
A31				=						4			6	= −12 −30 = −42, A32 = −																										3	6		= −(9 −12) = 3, A33 =								3		= 23
									5			3																												2	3										2	5
	3) составим из них присоединенную матрицу A :
																														(					15				12				− 42
																																			15				−33
																														A =													3
	Проверка:																																	−35					− 28				23
																				−42				3		−4						6						45 + 24 −294								−60 +60				90 +36 −126
(					15							12
					15								−33			3								2				5				3							45 −66				+ 21 −60 −165							90 −99 +9					=
AA =																																			=
													−28			23								7				0				3						−105 −56 +161						140 −140						−210 −84 +69
				−35
																												−225										0			0
																														0						−225					0
																														0								0
																																								−225

44

Следовательно

	1		15	12	− 42		− 2					−30 + 408 −378			0
X = A−1B = −										1
			15	−33	3		34		= −			−30 −1122 + 27		=	5
	225		−35	− 28	23		9			225		70 −952 + 207			3

После подстановки найденного результата x=0,y=5,z=3 в исходную систему убеждаемся, что действительно получено решение.

Указание. Всегда подставляйте найденное решение для проверки результата.

Задача 4.3. С помощью обратной матрицы решить систему уравнений:

5x − 2y = 7

− x

1

+ 4x

2

+ x

3

= −5

4x

1

+ 2x

2

− x

3

= 8

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 7

+ 3x 2

1)

+ 3y

=10

2)

2x1 +8x 2 + x 3

= 2 3)

3x1

+ x 3 =17 4) x1 + 4x 2 −5x 3 = 2

7x

5x 2 + 2x 3

=

6

−5x 2

− 2x 3 = 4

+10x 2 − x 3 =1

2x1

4x1

Решения этих задач показывают, что для отыскания решения системы АХ=В можно использовать представление обратной матрицы А-1 через алгебраические дополнения матрицы А. Поэтому, подставляя выражение элементов обратной матрицы

aij−1 = AAji , i =1,2,..., n; j =1,2,..., n

в равенство Х=А-1В, получаем:

								A		A		...	A		b
	1				1				11		21	...		n1		1
				(				A	12	A 22			A n 2		b
X =				AB =								... ...						=
		A				A
								... ...							...
										A 2 n		...	A nn
								A1n							b n

1

A

A11 b1A12 b1

...

A1n b1

+ A	21	b	2	+... + A	n1	b
							n
+ A 22 b 2				+... + A n 2 b n
...				...
+ A 2 n b 2
				+... + A nn b n

Все строки в последней матрице-столбце равны суммам произведений алгебраических дополнений элементов столбца матрицы А на строки правых частей решаемой системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. В первой строке складываются произведения алгебраических дополнений элементов первого столбца Аk1 на соответствующие элементы столбца правых частей bk. Поэтому сумма равна величине определителя матрицы А, в которой первый столбец заменен столбцом правых частей bk.

Аналогично в i-й строке этой матрицы-столбца складываются произведения алгебраических дополнений элементов i-гостолбца (Аki) матрицы А на столбец правых частей bk. Поэтому сумма в i-й строке равна определителю матрицы коэффициентов при неизвестных А, в которой i-й столбец заменен столбцом правых частей системы.

Теперь остается воспользоваться тем, что матричное равенство означает систему поэлементных равенств. Поскольку Х=(х1,х2,…,хn)т для каждого неизвестного, получаем:

x i =	∆ i	, i = 1, 2 ,... n
	∆

где ∆= A , а ∆i – определитель матрицы А, в которой i-й столбец заменен столбцом правых частей системы.

45

Полученные формулы, определяющие решение Х, системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, называются формулами Крамера. Они удобны для отыскания решения, так как не требуют никаких дополнительных действий, кроме вычисления определителей, и дают любое из n неизвестных независимо от остальных.

Предупреждение. Формулами Крамера можно пользоваться только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Поэтому начинать отыскание решения системы линейных алгебраических уравнений, так же как и при отыскании обратной матрицы, надо с вычисления определителя матрицы.

2.4.3.Решение систем линейных алгебраических уравнений

спомощью правила Крамера

Пример 4.4. Решить систему уравнений:

5x + y −3z =144x −3y + z = 4

7x − 2 y +5z = 7

Данная система имеет расширенную матрицу

			5	1	− 3		14
(A		B )= 4		− 3	1		4
			7	− 2	5		7

где А – матрица коэффициентов при неизвестных, В – столбец ее правых частей. Вычисление определителя матрицы коэффициентов при неизвестных дает:

					5	1	− 3		− 3	1		4	1		4	− 3
	A		= ∆ =		4	− 3	1	= 5			−			− 3			=
					7	− 2	5		− 2	5		7	5		7	− 2
5(−15 + 2) − (20							− 7) − 3(21 − 8) =13 × (−5 −1 − 3) = −13 × 9

Теперь воспользуемся правилом Крамера. Для этого вычислим определители, которые получаются заменой столбцов определителя матрицы А столбцом правых частей В.

			14	1		− 3
∆1 =			4	− 3	1				= 14 (−15 + 2) − (20 − 7) − 3(−8 + 21) = −13 × (14 + 1 + 3) = −13 ×18
			7	− 2	5
		5	14 −3					5 9 −3						5	1 14					5	1	9
∆2 =		4	4	1		=		4	0	1		= −9×13, ∆3 =		4	−3	4		=		4	−3	0	= 9 ×(−8 +21) = 9×13
		7	7 5					7 0		5				7	−2	7				7	−2	0

Подставляя найденные определители в формулы Крамера, получаем:

x

=

∆1

=

−13×18

= 2, x

=

∆2

= −13×9

=1, x

=

∆3

=

9 ×13

= −1

1

∆

−13×9

2

3

∆

−13×9

∆ −13×9

Проверка: 5×2+ 1×1-3× (-1)=14, 4×2-3×1+1× (-1)=4, 7×2-2×1+5×(-1)=7

После подстановки результата вычислений все уравнения превратились в равенства. Следовательно, действительно получено решение заданной системы.

46