Для проверки вычислим определитель разложением по первой строке. Получаем:

A = 3 A11 + 7 A13 + 11 A14 ,

где

5	9	−4
A11 = 0	3	8	= 5(0 −48) −(72 +12) = −240 −84 = −324
−1	6	0

		−2	5	−4
A13	=	1	0	8	= −5(0 −32) +(−16 + 4) =148
		4	−1	0
		−2	5	9
A14	= − 1		0	3	= 5(6 −12) −(−6 −9) = −30 +15 = −15
	4		−1	6

Таким образом, A = −3×324 +7 ×148 −11×15 = −972 +1036 −165 = −101

Результаты вычислений совпали.

Указание. Всегда полезно делать проверку, вычисляя определитель с помощью разных разложений. Это приучает постоянно контролировать себя (и других).

Задача 3.10. Вычислить определители:

		2	−5 9					3	− 4	6				9	−15 4					3	−9	5
1)		7	4	3		2)		0	0	5		3)		−5	3	5		4)		− 4 12 7
		0	0	1				3	9	−1				3	−5	1				2	−6	0

Указание. Каждый определитель можно сосчитать с помощью разных разложений, которые можно выбирать произвольно. Однако в первом определителе экономнее разложение по третьей строке, а во втором – по второй строке, так как в них много нулевых элементов.

2.3.6. Свойства определителей произвольного порядка

Понятие определителя произвольного порядка было введено таким образом, чтобы обобщить определители первого и второго порядка. Поэтому все свойства определителя второго порядка справедливы и для определителей произвольных порядков.

Перечислим их:

1)определитель матрицы А и определитель транспонированной матрицы Ат совпадают;

2)после перестановки любых двух строк (или столбцов) определителя местами величина определителя меняет знак;

3)если в определителе имеются две одинаковые строки (или столбца), то определитель равен нулю;

4)общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя, т.е. после умножения любой строки определителя на число величина определителя также умножается на это число;

5)если в определителе имеются пропорциональные строки или столб-

цы, то определитель равен нулю;

38

6)если в определителе какая-либо строка (или столбец) равна сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых эта строка (столбец) заменена отдельными слагаемыми;

7)определитель не изменится, если к любой из его строк (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число;

8)определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы, т.е. хотя бы одна из строк и столбцов является линейной комбинацией остальных.

Рекомендация. Для доказательства этих свойств полезно вернуться к доказательствам свойств определителей второго порядка и обобщать их для определителей больших порядков. Можно самостоятельно проверять эти свойства на числовых примерах, а затем перейти к алгебраическим обозначениям.

Указанные свойства определителей удобно применять для вычисления определителя. Так, с помощью свойства 7) определитель можно преобразовать так, чтобы он имел строку или столбец, в которой было много нулей. Тогда разложение определителя по преобразованной строке требует значительно меньше вычислений. Конечно, удачный выбор строки или столбца для разложения может значительно упростить вычисления.

Рекомендация. Результат вычисления определителя удобно проверять, раскладывая его по разным строчкам или столбцам, предварительно преобразуя его разными способами. Если результаты вычисления определителей совпали, то становится значительно меньше шансов, что есть ошибка. Но ошибки все-таки могут оставаться.

Пример 3.9. Вычислить определитель, используя свойства определителя:

	5	4	2		2	−3	1	0
					0	3	2	−1
1)	−3 2		7	2)
	3	1	−5		3	−3	2	3
					3	3	6	1

Первый определитель сначала преобразуем так, чтобы во втором его столбце был только один элемент отличный от нуля. Для этого прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на –2, а затем – ко второй строке третью строку, умноженную на –2. Получим:

A			5 + 6 4 − 4 2 −14						11	0	−12				11 0	−12
		=	−3	2	7		=		−3 −6 2 − 2 7 +10				=		−9 0	17
			3	1	−5				3	1	−5				3 1	−5

Теперь после разложения по второму столбцу имеем:

							A		= −				11			−12				= −				11			−1		= −(88 −9) = −79
													−9			17								−9			8
Другой способ вычисления этого определителя:
			=		5	4	2				= 5				3	2		+3				4		2		= 5(−15 −2) +3(8 −6) = −85 +6 = −79
	A				0	3	2
					3	1	−5								1	−5						3	2

39

Вычисление определителя четвертого порядка дает:

	2	−3	1	0		2	−1	1	0		2	0	3	−1
	0	3	2	−1	= 3	0	1	2	−1	= 3	0	1	2	−1	= 0
	3	−3	2	3		3	−1	2	3		3	0	4	2
	3	3	6	1		3	1	6	1		3	0	4	2

Здесь сначала вынесли из второго столбца общий множитель. Затем для образования в нем нулей прибавили вторую строку к первой и третьей и вычли ее из последней строки. Поскольку две последние строки оказались одинаковыми – определитель равен нулю.

Другой способ вычисления этого определителя:

	2	−3	1	0		2	−3	1	0		2	−3	1
	0	3 −3	2	−1		0	0	2 −2	−1
					=					= −13 6			8	= 0
	3	−3 +9 2		3		3	6	2 +6	3	3		6	8
	3	3 +3	6	1		3	6	6 + 2	1

Задача 3.11. Вычислить определитель, используя свойства определителя:

	4	− 5	2		7	− 1	3		2	3	− 3	4		5	2	0	1
									6	7	− 7	10		− 3 1		− 4 − 2
1)	2	3	7	2)	5	4	1	3)					4)
	1	− 3	− 5		2	5	1		6	2	1	0		0	2	1	− 3
									8	5	1	5		11	0	9	9

Указание. В тех случаях, когда два вычисления определителя дали разные результаты, лучше всего сосчитать его еще одним новым способом.

Вопросы для самостоятельного контроля

1)Что называется определителем второго порядка?

2)Какизменитсявеличинаопределителя, еслиегострочкуумножитьначисло?

3)В каких случаях определитель второго порядка равен нулю?

4)Что называется минором элемента квадратной матрицы?

5)Чем отличаются минор и алгебраическое дополнение элемента?

6)Что такое определитель матрицы первого порядка?

7)Как вычисляются определители матриц произвольного порядка?

8)Почему определитель не меняется после транспонирования?

9)Чтопроисходитсопределителемпослеперестановкилюбыхегодвухстрок?

10)Какие изменения строк определителя не изменяют его величины?

11)Что можно сказать о величине определителя:

		1+ 6 6		1				1 + 6 6		1				1	6 +1 1
1)		2 +3	2	3		2)		3 + 2	2	3		3)		2	1 + 4 3
		4 +5	4	5				4 +5	4	5				4	9 5

12)Чему равна величина определителя, если в нем имеются линейно зависимые строки или столбцы?

13)Что можно сказать о столбцах и строках определителя, если определитель отличен от нуля?

14)Чему равен определитель, если все его элементы под главной диагональю равны нулю?

40