- •Эконометрика
- •Лекция 1. Предмет и метод эконометрики. Ковариация, дисперсия и корреляция
- •1.1. Предмет и метод эконометрики
- •1.2. Выборочная ковариация.
- •1.3. Основные правила расчета ковариации.
- •1.4. Теоретическая ковариация.
- •1.5. Выборочная дисперсия. Правила расчета дисперсии.
- •1.6. Коэффициент корреляции.
- •1.7. Коэффициент частной корреляции.
- •Тест для самоконтроля
- •Лекция 2. Парная линейная регрессия.
- •2.1. Проблема оценивания линейной связи экономических переменных.
- •2.2. Модель парной линейной регрессии.
- •2.3. Регрессия по методу наименьших квадратов.
- •2.4. Интерпретация уравнения регрессии.
- •2.5. Качество оценки: коэффициент r2.
- •Тесты для самоконтроля
- •Лекция 3. Статистическая оценка достоверности выборочных показателей связи.
- •Оценка достоверности уравнения регрессии в целом
- •Определение средней ошибки, предельной ошибки и доверительных границ коэффициента корреляции
- •3.1. Оценка достоверности уравнения регрессии в целом
- •3.2. Определение средней ошибки, предельной ошибки и доверительных границ коэффициента корреляции
- •3.3. Проверка гипотезы и интервальная оценка коэффициента регрессии.
- •3.4. Средняя ошибка уравнения и интервальная оценка отдельных значений результативного признака.
- •Тесты для самоконтроля
- •Лекция 4. Нелинейная регрессия
- •4.1. Спецификация модели
- •4.2. Классификация нелинейных функций.
- •4.3. Отдельные виды нелинейных регрессий.
- •4.3.2. Равносторонняя гипербола.
- •4.3.3. Степенная функция.
- •4.4.Коэффициенты эластичности в нелинейных регрессиях.
- •4.5. Корреляция для нелинейной регрессии.
- •Тесты для самоконтроля
- •Лекция 5. Множественная регрессия и корреляция
- •Понятие множественной регрессии, и ее графическая интерпретация
- •Отбор факторов при построении модели.
- •Коллинеарность факторов. Методы преодоления межфакторной связи
- •Модульная единица 5.1. Параметризация и спецификация уравнения множественной регрессии
- •5.1.1. Понятие множественной регрессии, и ее графическая интерпретация
- •5.1.2. Отбор факторов при построении модели.
- •5.1.3. Коллинеарность факторов. Методы преодоления межфакторной связи
- •5.1.4. Параметризация уравнения множественной регрессии и его интерпретация
- •Тесты для самоконтроля
- •Модульная единица 5.2. Множественная и частная корреляция. Предпосылки мнк.
- •5.2.1.Множественная корреляция.
- •5.2.2. Скорректированный индекс детерминации (корреляции).
- •5.2.3. Частная корреляция.
- •5.2.4. Частные f- тесты
- •5.2.5. Предпосылки мнк.
- •Тесты для самоконтроля
- •Лекция 6. Моделирование динамических процессов
- •6.1. Элементы временного ряда
- •6.2. Автокорреляция
- •6.3. Выявление структуры временного ряда
- •6.4. Моделирование тенденции
- •6.5. Изучение взаимосвязи переменных по данным временных рядов
- •6.6. Критерий Дарбина-Уотсона
- •Тесты для самоконтроля
- •Лекция 7. Системы эконометрических уравнений
- •Модульная единица 7.1. Виды систем эконометрических уравнений и их идентификация. Косвенный метод наименьших квадратов
- •7.1.1. Понятие и необходимость применения систем уравнений
- •7.1.2. Косвенный метод наименьших квадратов
- •7.1.3. Проблема идентификации
- •Вопросы для повторения
- •Тесты для самоконтроля
- •Модульная единица 7.2. Методы решения сверхидентифицируемых систем
- •7.2.1. Двухшаговый метод наименьших квадратов
- •7.2.4. Исходные данные
- •7.2.2. Понятие о трехшаговом методе наименьших квадратов
- •7.2.3. Применение систем уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Тесты для самоконтроля
- •Пример выполнения работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Используя средства ms excel построить парную линейную модель регрессии, рассчитать показатели тесноты связи по индивидуальным данным.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •1. Исходные данные
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Используя встроенный инструмент «Регрессия» ms excel, построить парную линейную модель регрессии, оценить результаты.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •1. Исходные данные
- •2. Оценка значимости. Точечная и интервальная оценки параметров уравнения регрессии
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Используя средства ms excel построить множественную линейную модель регрессии, рассчитать показатели тесноты связи по индивидуальным данным.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •2 Способ.
- •4 Способ.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Требуется проверить модель регрессии на гетероскедастичность остатков
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Используя средства ms excel построить уравнение тренда.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи. Построить модель связи между экономическими переменными по данным временных рядов.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •1. Исходные данные
- •2. Автокорреляционные функции
- •2.1. Тест на автокорреляцию остатков трендов
- •3. Первые разности
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Список индивидуальных данных:
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Общая постановка задачи.
- •Пример и методические указания к выполнению работы.
- •2. Исходные данные
- •Контрольные вопросы к защите
- •Способ оценки результатов
- •Словарь основных терминов и определений (глоссарий)
- •Промежуточный тест по дисциплине «Эконометрика» Учебный модуль 3. Модульная единица 6.
- •Тестовые задания
- •Итоговый тест по дисциплине «Эконометрика»
- •1. Шкала проходных баллов по модулям
- •Модульная единица 2. Парная линейная регрессия.
- •Модульная единица 3. «Статистическая оценка достоверности выборочных показателей связи»
- •Модуль 2. Множественная регрессия и корреляция Модульная единица 5.1. Параметризация и спецификация уравнения множественной регрессии
- •Модуль 4. Системы эконометрических уравнений Модульная единица 7.1. Виды систем эконометрических уравнений и их идентификация. Косвенный метод наименьших квадратов
- •Модуль 4. Модульная единица 7.2. «Методы решения сверхидентифицируемых систем»
- •Контрольные работы промежуточного контроля Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Предмет и метод эконометрики.
- •Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Контрольная работа №1(модульные единицы 1, 2, 3)
- •Контрольная работа №2 (модульная единица 4)
- •5. Классификация нелинейных функций.
- •Контрольная работа № 3 (модуль 5, модульные единицы 5.1, 5.2)
- •Контрольная работа № 4 (модуль 7, модульные единицы 7.1, 7.2)
- •Контрольные вопросы итогового контроля
2.3. Регрессия по методу наименьших квадратов.
Допустим, что вы имеете четыре наблюдения для х и у, представленные на рис. 2., и перед вами поставлена задача — определить значения и в уравнении (2.1). В качестве грубой аппроксимации вы можете сделать это, отложив четыре точки Р и построив прямую, в наибольшей степени соответствующую этим точкам. Это сделано на рис.2.3 (слайд).
Отрезок, отсекаемый прямой на оси у, представляет собой оценку и обозначен а, а угловой коэффициент прямой представляет собой оценку и обозначен b.
С самого начала необходимо признать, что вы никогда не сможете рассчитать истинные значения и при попытке построить прямую и определить положение линии регрессии. Вы можете получить только оценки, и они могут быть хорошими или плохими. Иногда оценки могут быть абсолютно точными, но это возможно лишь в результате случайного совпадения, и даже в этом случае у вас не будет способа узнать, что оценки абсолютно точны.
Это справедливо и при использовании более совершенных методов. Построение линии регрессии на глаз является достаточно субъективным. Более того, как мы увидим в дальнейшем, это просто невозможно, если переменная у зависит не от одной, а от двух или более независимых переменных. Возникает вопрос: существует ли способ достаточно точной оценки и алгебраическим путем?
Первым шагом является определение остатка для каждого наблюдения. За исключением случаев чистого совпадения, построенная вами линия регрессии не пройдет точно ни через одну точку наблюдения. Например, на рис.4 (слайд 2.4) при х = x1 соответствующей ему точкой на линии регрессии будет R1 со значением у, которое мы обозначим вместо фактически наблюдаемого значения у1. Величина описывается как расчетное значение у, соответствующее х1 . Разность между фактическим и расчетным значениями (у1 - ) определяемая отрезком P1R1,, описывается как остаток в первом наблюдении. Обозначим его е1. Соответственно, для других наблюдений остатки будут обозначены как е2,, е3 и е4.
Очевидно, что мы хотим построить линию регрессии таким образом, чтобы эти остатки были минимальными. Очевидно также, что линия, строго соответствующая одним наблюдениям, не будет соответствовать другим, и наоборот. Необходимо выбрать такой критерий подбора, который будет одновременно учитывать величину всех остатков. Существует целый ряд возможных критериев, одни из которых «работают» лучше других. Например, бесполезно минимизировать сумму остатков. Сумма будет автоматически равна нулю, если вы сделаете равным , а равным нулю, получив горизонтальную линию . В этом случае положительные остатки точно уравновесят отрицательные, но строгой зависимости при этом не будет.
Один из способов решения поставленной проблемы состоит в минимизации суммы квадратов S. Для рис. 2.4 верно такое соотношение :
S = (2.2)
Величина S будет зависеть от выбора а и b, так как они определяют положение линии регрессии. В соответствии с этим критерием, чем меньше S, тем строже соответствие. Если S=0, то получено абсолютно точное соответствие, так как это означает, что все остатки равны нулю. В этом случае линия регрессии будет проходить через все точки, однако, вообще говоря, это невозможно из-за наличия случайного члена.
Существуют и другие достаточно разумные решения, однако при выполнении определенных условий метод наименьших квадратов дает несмещенные и эффективные оценки и . По этой причине метод наименьших квадратов является наиболее популярным в вводном курсе регрессионного анализа.
После построения линии регрессии стоит более детально рассмотреть общее выражение для остатка в каждом наблюдении. Логика этого рассмотрения является достаточно простой. Однако на первый взгляд она может показаться абстрактной, поэтому более наглядно графическое представление.
На рис. 5 (слайд 2.5) линия регрессии
(2.3)
построена по выборке наблюдений. Для того чтобы не загромождать график, показано только одно такое наблюдение: наблюдение i, представленное точкой Р c координатами (xi,,yi).
Когда х=хi линия регрессии предсказывает значение у= что соответствует точке R на графике, где
= a + bxi (2.4)
Используя условные обозначения, принятые на рис.5, это уравнение можно переписать следующим образом:
RT = ST + RS (2.5)
так как отрезок ST равен а, а отрезок RS равен bxi
Остаток PR — это разность между РТ и RT:
PR = PT - RT = PT - ST - RS (2.6)
Используя обычную математическую запись, представим формулу (6) в следующем виде:
ei = yi - = yi - a - bxi. (2.7)
Если бы в примере, показанном на графике (рис.5) мы выбрали несколько большее значение а или несколько большее значение b, то прямая прошла бы ближе к Р, и остаток ei был бы меньше. Однако это повлияло бы на остатки всех других наблюдений, и это необходимо учитывать. Минимизируя сумму квадратов остатков, мы попытаемся найти некоторое равновесие между ними.
Рассмотрим случай, когда имеется п наблюдений двух переменных х и у. Предположив, что у зависит от х, мы хотим подобрать уравнение:
= a + bx (2.8)
Расчетное значение зависимой переменной и остаток ei, для наблюдения i заданы уравнениями (2.4) и (2.7). Мы хотим выбрать а и b, чтобы минимизировать величину S, где S = ei2.
Можно доказать, что величина S минимальна, когда
(2.9)1
и (2.10)1
Варианты выражения для b.
Так как
(2.11)
и (2.12)
мы можем получить следующие выражения для b:
(2.13)
b = (2.14)
В дальнейшем будет использоваться первоначальное определение b=Cov(х,y)/Var(х) и это выражение, вероятно, легче всего запомнить. На практике для вычисления коэффициентов регрессии используется компьютер, поэтому нет смысла запоминать альтернативные выражения. Зная определения выборочной дисперсии и ковариации, вы всегда сможете вывести эти выражения.