Пример выполнения работы.

Дана информация о годовых доходах населения, потребительском спросе на бензин и об индексах цен на него (табл.1.1)

Таблица 1.1 Динамика спроса и цены на бензин

Год	Спрос на бензин, ден.ед. (у)	Базисный индекс цен на бензин, % (х)	Доходы населения, ден.ед., (z)
1	26,2	103,5	865,3
2	24,8	127,0	858,4
3	25,6	126,0	875,8
4	26,8	124,8	906,8
5	27,7	124,7	942,9
6	28,3	121,6	988,8
7	27,4	149,7	1015,5
8	25,1	188,8	1021,6
9	25,2	193,6	1049,3
10	25,6	173,9	1058,3
Сумма	262,7	1433,6	9582,7
Среднее	26,27	143,36	958,27

1). Определим ковариацию между спросом на бензин и индексом цен. Необходимые промежуточные расчеты выполним в таблице 1.2.

Таблица 1.2 Расчет ковариации

Год	ух
1	2711,70	-0,07	-39,86	2,79
2	3149,60	-1,47	-16,36	24,05
3	3225,60	-0,67	-17,36	11,63
4	3344,64	0,53	-18,56	-9,84
5	3454,19	1,43	-18,66	-26,68
6	3441,28	2,03	-21,76	-44,17
7	4101,78	1,13	6,34	7,16
8	4738,88	-1,17	45,44	-53,16
9	4878,72	-1,07	50,24	-53,76
10	4451,84	-0,67	30,54	-20,46
Сумма	37498,23	Х	Х	-162,44
Среднее	3749,82	Х	Х	-16,24

По первому способу расчета ковариации

Cov (x,y)= = ;

по второму способу

Cov (x, y) = = = -16,24.

Вывод: мы убедились в тождественности двух способов расчета ковариации. Отрицательный знак ковариации указывает на то, что между спросом на бензин и индексом цен имеет место обратная зависимость, то есть чем больше индекс цен на бензин, тем меньше спрос на него.

2) Преобразуем базу данных, приняв за базисный 8-ой год данного ряда динамики. Для этого индекс каждого года умножим на коэффициент 0,53 (100/188,8=0,53)

Таблица 1.3 Расчет ковариации по преобразованным данным

Год	Преобразованный индекс цен на бензин, % (х^1)	(х^1- )		(х^1- )
1	54,855	-21,125	-0,07	1,478
2	67,31	-8,67	-1,47	12,74
3	66,78	-9,2	-0,67	6,16
4	66,14	-9,84	0,53	-5,22
5	66,09	-9,889	1,43	-14,141
6	64,45	-11,532	2,03	-23,41
7	79,34	3,36	1,13	3,79
8	100,00	24,02	-1,17	-28,10
9	102,61	26,63	-1,07	-28,49
10	92,17	16,19	-0,67	-10,84
Сумма	759,81	Х	Х	-86,03
Среднее	75,98	Х	Х	-8,60

Cov (x¹,y)=

Новое значение ковариации относится к старому значению как 0,53

(-16,24/-8,6=0,53).

Вывод: эмпирическим путем мы доказали, что если одна из переменных меняется с коэффициентом k, то и показатель ковариации переменных меняется с этим же коэффициентом.

3). Измерим силу связи между переменными х и у с помощью коэффициента корреляции. Рассчитаем парный коэффициент корреляции по формуле .

Числитель данного выражения (ковариация) определен нами ранее, а знаменатель представляет собой произведение средних квадратических отклонений взаимосвязанных признаков. Поскольку способы расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения рассматривались в курсе математической статистики, то промежуточные расчеты здесь не приводим. Отметим лишь, что дисперсия переменной может быть определена с помощью программы Excel. Для этого в главном меню последовательно выберите Вставка функции / Статистические / Диспр. и заполните диалоговое окно ввода данных. В нашем примере σ²_х = 888,57 и σ²_у=1,33. Тогда

Вывод: величина и знак коэффициента парной корреляции указывают, что сила связи между переменными умеренная, и связь обратная по направлению. Коэффициент детерминации r² (-0,47²= 0,22) говорит о том, что только 22% вариации спроса на бензин за данный период объяснялось изменением цен, а 78% - другими факторами.

4). Из экономической теории известно, что фактором спроса на товар является не только цена, но и доход населения. Из данных таблицы 1.1 видна тенденция роста доходов населения за анализируемый период. Поскольку рост доходов является положительным фактором спроса, то эта тенденция могла преуменьшить отрицательное влияние роста цен. Проверим данную гипотезу с помощью частного коэффициента корреляции. Для его расчета с помощью программы Excel получим матрицу парных коэффициентов корреляции. Для этого в главном меню выбираем Сервис /Анализ данных / Корреляция и заполняем диалоговое окно ввода данных.

Таблица 1.4. Матрица парных коэффициентов корреляции

	у	х	z
y	1,000
x	-0,470	1,000
z	0,055	0,825	1,000

Подставим необходимые значения в формулу частного коэффициента корреляции

Вывод: гипотеза о том, что рост доходов преуменьшил влияние роста цен на спрос, подтвердилась нашими расчетами. Величина частного коэффициента корреляции между спросом и ценами говорит о том, что если исключить параллельное изменение доходов, то вариация цен на 84% (-0,9146² = 0,836) определяла вариацию спроса на бензин.