2. Автокорреляционные функции

Коэффициент автокорреляции, r(τ)	Потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (включая субпродукты II категории и жир-сырец) (в год; килограммов)	Реальные денежные доходы населения, % к 1998 г.
r(1)	0,963	0,997
r(2)	0,905	0,993
r(3)	0,915	0,998

Автокорреляционные функции по первому и второму ряду в целом являются убывающими (коэффициенты третьего порядка рассчитаны при недостаточном числе наблюдений, поэтому нет смысла их анализировать), свидетельствуют о значительной автокорреляции уровней ряда, коэффициенты первого порядка являются максимальными, поэтому можно сделать заключение о присутствии тенденции в рядах динамики и отсутствии циклической компоненты.

Изобразим графически фактические уровни рядов (рис. 3):

Рис. 3. Графики временных рядов и их тренды

Графики временных рядов позволяют предположить наличие линейных трендов, добавление линий трендов подтвердило эту гипотезу: коэффициенты детерминации свидетельствуют об очень высокой связи со временем.

Следовательно, нельзя утверждать, что между уровнями ряда отсутствует взаимодействие и полученный коэффициент детерминации по модели регрессии между потреблением мяса и доходами сформирован без влияния связей между уровнями ряда.

Условие отсутствия автокорреляции остатков в модели тренда по потреблению мяса выполняется, по доходам статистика Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности (табл. 2.1).

2.1. Тест на автокорреляцию остатков трендов

Признак	Тренд	Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка,	Статистика Дарбина-Уотсона	Нижняя граница, dн	Верхняя граница, dв	4-dв
Потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (включая субпродукты II категории и жир-сырец) (в год; килограммов)	y = 1,8214t + 42,286	-0,13467	2,269339	0,70	1,36	2,64
Реальные денежные доходы населения, % к 1998 г.	y = 15,328t + 79,76	0,425677	1,148646	0,70	1,36	2,64

Следовательно, для выявления тенденции и целей прогнозирования будем применять линейные тренды как для первого ряда, так и для второго.

Таким образом, имеем случай, когда в рядах динамики имеется тенденция, модель связи, построенная на основе уровней ряда, содержит ложную корреляцию. В этом случае могут быть построены уравнения регрессии на основе первых разностей (поскольку тенденция в рядах линейная), на основе отклонений от трендов, а также можно построить уравнение регрессии с включением фактора времени. Реализуем все три модели.

Построение модели регрессии по первым разностям.

Найдем первые последовательные разности (табл. 3):

3. Первые разности

№ п/п	yt-yt-1	хt-хt-1
1	0	-11,0
2	-2	-11,1
3	-3	-13,4
4	-2	-19,8
5	-1	-17,4
6	-2	-18,1

Построим модель регрессии. В результате было получено уравнение регрессии , коэффициент корреляции равен 0,22, коэффициент автокорреляции остатков первого порядка удалось снизить с 0,14 в первой модели до -0,01, статистика Дарбина-Уотсона в этом случае практически равна 2 (2,02), но само уравнение и его параметры оказались не значимыми (значимость критерия Фишера и критерия Стьюдента для коэффициента полной регрессии - 67%).

Такой низкий коэффициент корреляции связан еще и с нулевым приростом потребления мяса в 2000 г., при росте доходов, такое наблюдение не присуще данной совокупности. Если исключить первое наблюдение, то получим уравнение , коэффициент корреляции равен уже 0,39, хотя модель и оказывается незначимой, но нужно учесть, что число наблюдений в этом случае сократилось до 5. Коэффициенты полной регрессии (0,060 и -0,077) имеют разные знаки, в первом случае (с учетом первого нулевого прироста) коэффициент регрессии свидетельствует об увеличении годовых приростов потребления мяса, во втором – коэффициент показывает, что приросты со временем затухают.

Построение модели регрессии по отклонениям от трендов.

Для получения выравненных по трендам значений построим тренды для каждого из временных рядов с использованием инструмента «Регрессия» (фактические уровни рядов – зависимая переменная, период времени, t=1, ...,7 – независимая), предусмотрев вывод остатков. Остатки и будут являться отклонениями от трендов ( ). Например, для потребления мяса (рис. 5).

Обратите внимание на то, что инструмент «Регрессия» дает то же уравнение, как и автоматическое добавление тренда на график (рис.3).

Аналогично найдем отклонения от тренда по доходам и по полученным отклонениям построим уравнение регрессии.

Уравнение регрессии по отклонениям от трендов имеет вид:

. Коэффициент корреляции равен 0,21. Уравнение также не значимо.

Рис. 5. Определение отклонений от тренда,

Построение модели регрессии с учетом фактора времени.

Включим в модель фактор времени: ( t=1,…,8 в нашем случае).

В итоге получим уравнение: , коэффициент корреляции равен 0,986, уравнение оказалось значимым (значимость F – менее 0,01%), но ни один из коэффициентов при независимых переменных не значим (значимость t-Стьюдента для b₁ – 69%, с – 42%). Причина в том, что само включение фактора времени при наличии тенденции в уровнях независимой переменной приводит к коллинеарности факторов: коэффициент корреляции со временем уровней доходов – 0,99. Коэффициент частной корреляции потребления мяса с уровнем доходов при фиксированном факторе времени равен: , т.е. при устранении влияния времени связь ослабевает. Кроме того, ели определить коэффициенты частной детерминации, то коэффициент детерминации может быть разложен:

, т.е. влияние фактора времени выше влияния фактора - доход.

Кроме того, если разложить коэффициент детерминации с учетом системного эффекта, получим:

. Получается, что величина коэффициента частной детерминации вызвана связью со временем, если извлечь корень из , то получим оценку коэффициента корреляции 0,31. Примерно такие же характеристики мы получали по первым разностям и отклонениям от трендов. Таким образом, коэффициент корреляции доходов и потребления мяса находится на уровне от 0,2 до 0,4, что свидетельствует о тесноте связи ниже средней.

При условии сохранения тенденций в рядах динамики можно сделать прогноз на 2007 год. Для этого нужно получить прогнозное значение роста доходов:

, подставим это значение в модели связи потребления мяса и уровня доходов, а также в модель связи с учетом фактора времени. По первой модели получим:

кг;

по второй: кг.

Если использовать модели приростов, то сначала нужно определить прогнозный прирост доходов по отношению к уровню 2005 года: , далее подставим этот прирост в уравнение связи первых разностей: , затем к уровню потребления мяса в 2005 году прибавим полученный прирост: .

Таким образом, мы получили прогноз потребления мяса на 2007 год на уровне 57,4-58,7 кг, при условии роста доходов на 26,9% по отношению к 2005 году и сохранении тенденций и связей между рядами динамики.