Общая постановка задачи. Используя средства ms excel построить уравнение тренда.

Индивидуальные данные представлены в файле «исходные данные.exl» на листе «ЛПЗ №9»

Пример и методические указания к выполнению работы.

Условие: имеется временной ряд реальных денежных доходов в расчете на душу населения по Белгородской области:

Год	Реальные денежные доходы населения, % к 1995 г.
1995	100,0
1996	102,5
1997	94,4
1998	85,8
1999	78,4
2000	83,9
2001	92,9
2002	103,6
2003	113,0
2004	123,0
2005	137,8

Требуется выявить основную тенденцию развития реальных денежных доходов населения методом аналитического сглаживания, рассчитать прогноз на 2007 год.

Методические указания. Метод аналитического сглаживания применим лишь для качественно однородных периодов. Что касается рассматриваемого периода, то временной ряд содержит момент времени – 1998 г., характеризующийся серьезными структурными изменениями в национальной экономике – в августе 1998 г. произошел дефолт, что оказало серьезное влияние на изучаемый признак – это наглядно видно из графика:

Для изучаемого признака 1999 год – критическая точка графика (t=5), его можно отнести как к первому подпериоду, так и ко второму. Но с качественной стороны изучаемого процесса целесообразно разделить временной ряд на подпериоды – до дефолта (1995-1998 гг.) и после (1999-2005 гг.).

Выравнивание временного ряда, содержащего структурные изменения, производится с помощью кусочных функций, т.е. для каждого подпериода подбирается свой тренд.

Анализ графика позволяет предположить, что выравнивание можно провести для каждого из подпериодов помощью линейной функции , где - значения признака в момент времени t, t=1,…n. Параметры тренда находят методом наименьших квадратов, минимизируя сумму квадратов отклонений фактических уровней ряда от выравненных: . Оценку параметров в EXCEL можно получить, добавив линию тренда на диаграмму. Для этого нужно выделить исходные уровни графика, вызвать контекстное меню, нажав правую кнопку мыши, и выбрать пункт «Добавить линию тренда», на вкладке «Параметры» предусмотрите вывод уравнения и коэффициента аппроксимации (детерминации) R².

Для первого подпериода (1995-1998 гг.) получено уравнение линейного тренда . Тренд указывает на убывающую тенденцию, в среднем за год реальные доходы сокращались на 5,07%.

Линейный тренд не единственный, с помощью которого можно описать тенденцию, можно использовать и другие функции – степенную, полулогарифмическую, экспоненциальную и др. Полиномы второй степени и выше, если они меняют направление развития, для описания тенденции не подходят, поскольку выявить тенденцию означает установить: является ряд в целом убывающим или возрастающим. Для выбора лучшей аппроксимирующей (отображающей реальные уровни) функции используется R² или остаточная дисперсия (несмещенная оценка дисперсии): , где p – число параметров тренда без свободного члена. Несмещенная оценка дисперсии может быть найдена через ее смещенную оценку: , .

Чем больше величина коэффициента детерминации и меньше остаточная дисперсия, тем лучше функция отображает исходные уровни ряда. Принять окончательное решение о форме функции можно с помощью теста на различие в остаточных дисперсиях:

.

Критическое значение находят при выбранном уровне значимости ( ) и числе степеней свободы для большей ( ) и меньшей ( ) из двух дисперсий.

В случае выполнения неравенства делается заключение о том, что различия в дисперсиях существенны и функция, которой соответствует меньшая дисперсия, действительно лучше аппроксимирует исходные значения, и именно она выбирается для описания тенденции. Иначе, предпочтение отдается более простой функции.

Для линейной функции получен высокий коэффициент детерминации, который показывает, что 78,16% вариации доходов связано со временем.

Степенной, полулогарифмический тренды дают худшую аппроксимацию – 60%. Коэффициент аппроксимации экспоненциального тренда ( ) несколько выше, чем линейного – 78,36%, самый высокий коэффициент у параболы ( ) – 96,89%.

Оценим различия между экспоненциальным и линейным трендом:

(используйте функцию «ДИСПР()»);

;

;

;

.

Фактическое значение критерия (1,00) не превысило критическое (19,0), поэтому различия в дисперсиях не существенны, т.е. нельзя утверждать, что экспоненциальная функция лучше линейной описывает уровни ряда. Предпочтение отдадим линейной функции.

Сравним точность аппроксимации линейной и параболической функций:

;

.

Различия оказываются не существенны, поэтому выбираем линейную форму тренда для выравнивания уровней ряда с 1995 по 1998 гг.

Для сглаживания уровней второго подпериода также оценим параметры линейной функции:

Тенденция – возрастающая со средним годовым абсолютным приростом 9,9%.

Коэффициент детерминации при выравнивании по другим функциям меньше, чем по линейной за исключением параболы (0,9981), эти различия существенны на 5% уровне:

.

Но значимость фактического критерия составляет 0,0495, т.е. различия в дисперсиях не существенны уже на уровне 4,9%. Поэтому предпочтение также отдадим линейной функции.

Для оценки возможности построения тренда по данным всего ряда без разбиения на подпериоды проверим гипотезу о том, что вектор оценок параметров тренда по первому подвериоду равен вектору по второму подпериоду, а также о равенстве остаточных дисперсий отклонений от линий трендов по этим подпериодам: Н₀: .

Для проверки этой гипотезы рассчитаем критерий Чоу:

, где р – число параметров без свободного члена, - остаточная сумма квадратов при построении тренда по всей совокупности (в нашем случае было получено уравнение линейного тренда: , с величиной R²=0,41). , - остаточные суммы квадратов для первого и второго подпериодов.

Фактическое значение (68,3) значительно превысило критическое (4,7), следовательно, для выявления тенденции нужно применять кусочно-линейные функции.

Для первого подпериода - , для второго - .

Для построения прогноза необходимо оценить существенность уравнений регрессии и их параметров (табл.1).

1. Оценка значимости трендов и их параметров

Период	Параметры линейного тренда	Значимость критериев Стьюдента и Фишера, %
1995-1998	в0	0,23
	в1	11,59
		11,59
1999-2005	в0	0,15
	в1	0,00
		0,00

Оценка существенности уравнения тренда и его параметров необходима в силу того, что сам временной ряд рассматривается как выборка – одна из возможных реализаций случайного процесса.

Первый тренд при высоком коэффициенте детерминации значим при 12% области, что связано с небольшим числом наблюдений (4 уровня), а это уменьшает число степеней свободы и завышает случайные ошибки параметров.

Тренд для второго периода и все его параметры значимы (табл. 1).

Рассчитаем прогнозное значение для 2007 года (t=9):

.

Средняя ошибка прогноза составит:

.

При критическом значении t-Стьюдента при 5% уровне значимости 2,57, предельная ошибка составит 7,3%.

Таким образом, мы получили прогноз реальных денежных доходов в Белгородской области на 2007 год – 154,0 % по отношению к уровню 1995 г., со средней ошибкой 3,7%. С уровнем доверия 95% можно гарантировать, что реальные денежные доходы будут не ниже 144,4 и не выше 163,6%.