Пример и методические указания к выполнению работы.

Условие. Имеются данные по 12 регионам одного из федеральных округов России о валовом региональном продукте (ВРП), инвестициях в основной капитал в расчете на душу населения и уровне экономической активности населения, представленные в виде электронной таблицы в MS EXCEL (рис. 1).

1. Исходные данные

Требуется, используя средства MS EXCEL:

1. построить множественную модель с использованием встроенного инструмента «Регрессия»;

2. оценить показатели тесноты связи;

3. дать оценку уравнения в целом и параметрам, провести интерпретацию коэффициентов чистой регрессии;

4. рассчитать и проанализировать стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты раздельной детерминации;

5. рассчитать и оценить прогнозное значение валового внутреннего продукта для округа.

Методические указания.

1. Постановка проблемы. Уровень ВРП в расчете на душу населения является основным показателем эффективности экономики региона, уровня жизни населения. Аналогом данного показателя на уровне страны является валовой внутренний продукт (ВВП), увеличение которого является общенациональной задачей.

2. Информационной базой являются данные по 12 регионам РФ из 89. Исследуемая совокупность регионов является выборкой. Число наблюдений в расчете на фактор удовлетворяет минимальным требованиям (напомним, что, по мнению разных ученых, на каждый фактор, включенный в модель должно приходиться от 6-7 до 10 наблюдений как минимум).

3. Спецификация модели (отбор факторов и установление формы связи между ними).

Известно, что уровень ВРП на душу населения – основной показатель уровня жизни, зависит от множества факторов. По имеющимся эмпирическим данным построим множественную модель связи уровня ВРП (у) с инвестициями в основной капитал (х₁) в расчете на душу населения и уровнем экономической активности (х₂). Предположим, что связь линейная:

.

5. Построим модель с использованием инструмента «Регрессия», предусмотрев вывод остатков, в итоге получим выходные данные (рис.1).

Выборочная модель множественной линейной регрессии может быть записана в виде:

.

6. Оценим тесноту связи в уравнении.

EXCEL автоматически рассчитал коэффициенты множественной корреляции (множественный R) и детерминации (R-квадрат), а также скорректированный коэффициент детерминации (нормированный R-квадрат) (рис. 1).

Напомним, что коэффициент множественной детерминации определяется по формуле:

,

где W – общий, – воспроизведенный уравнением, а W_е – остаточный объем вариации.

Множественный коэффициент корреляции (R) и скорректированный коэффициент детерминации ( )_:

Рис.1. Результаты реализации инструмента «Регрессия»

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,963
R-квадрат	0,927
Нормированный R-квадрат	0,911
Стандартная ошибка	5,23
Наблюдения	12
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	3132,5	1566,2	57,2	0,000008
Остаток	9	246,6	27,4
Итого	11	3379,1
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-226,0	54,6956	-4,13	0,00255	-349,7	-102,2
Переменная X 1	0,004	0,0005	7,56	0,00003	0,003	0,005
Переменная X 2	3,935	0,8796	4,47	0,00155	1,945	5,925
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	36,8	-6,0
2	36,8	1,5
3	24,8	-3,1
4	43,3	-0,7
5	32,8	-3,8
6	78,2	0,6
7	52,5	2,7
8	54,1	-4,8
9	45,1	2,8
10	31,1	11,9
11	76,1	0,3
12	38,1	-1,6

_,

где n – число наблюдений (n=12), p – число регрессоров (факторов) в уравнении, в нашем случае p=2).

чувствителен к увеличению числа регрессоров и уменьшению числа наблюдений, чем больше факторов включено в модель и чем меньше число наблюдений, тем больше различия между множественным коэффициентом детерминации и скорректированной его величиной.

Мы получили следующие показатели тесноты связи: R²=0,927, , R=0,963.

Между коэффициентом детерминации и скорректированным коэффициентом существуют различия (1,6%), так как число наблюдений не велико. Поскольку различия не столь существенны, можно использовать R² и R для оценки тесноты связи. Множественный коэффициент корреляции (R = 0,963) свидетельствует об очень тесной связи между факторами и результатом, множественный коэффициент детерминации показывает, что 92,7 % вариации ВРП на душу населения связано с включенными в модель факторами. Полученные выводы следует оценить: насколько они существенны для генеральной совокупности, поскольку мы получили лишь выборочные показатели связи и выборочное уравнение регрессии.

7. Дадим оценку значимости уравнения в целом, условного начала и коэффициентов чистой регрессии.

Оценка значимости уравнения в целом проводится на основе дисперсионного анализа.

Предположим, что уравнение не значимо для генеральной совокупности (Н₀: ) в качестве альтернативной гипотезы выдвинем предположение о значимости уравнения (Н_А: ). Проверим эти гипотезы на 5% уровне значимости. В качестве критерия выберем критерий F-Фишера, его фактическое значение определяется по формуле.

.

Фактическое значение критерия равно 57,2 (рис. 1). Сравним его с критическим значением , которое можно найти, используя встроенную функцию FРАСПОБР( ). В нашем случае: =FРАСПОБР(0,05;2;9)=4,3.

Поскольку фактическое значение превышает критическое, принимаем гипотезу о значимости уравнения в целом.

Можно также оценить значимость критерия (фактического значения), из рис. 1 видно, что критерий значим уже при 0,0008% области, что гораздо меньше принятой нами 5%.

Следовательно, уравнение в целом значимо, но возможно не значим какой-либо из его параметров для генеральной совокупности.

Выдвинем рабочую гипотезу о равенстве нулю всех параметров уравнения в генеральной совокупности и альтернативную ей:

H₀: H_А:

Гипотезы проверим на 5% уровне значимости.

Для проверки гипотез используется критерием t-Стьюдента, фактические значения которого определяется по формуле:

,

EXCEL автоматически производит расчет фактических значений критерия Стьюдента и его значимости, средних ошибок, доверительных интервалов (на 95% уровне вероятности суждения) для каждого из параметров уравнения регрессии (рис. 1). Оформим результаты тестирования и оценки генеральных параметров в таблицу (табл. 2).