5.2.2. Скорректированный индекс детерминации (корреляции).

В рассмотренных показателях множественной корреляции (индекс и коэффициент) используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону преуменьшения, тем более значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии при заданном объеме п. Таким образом, чем больше параметров при х, тем ближе остаточная дисперсия к нулю и, тем ближе коэффициент (индекс) корреляции приблизится к единице даже при слабой связи фактора с результатом. Для того, чтобы не допускать возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции.

Скорректированный индекс множественной корреляции содержит поправку на число степеней свободы, а именно: остаточная сумма квадратов делится на число степеней свободы остаточной вариации, а общая сумма квадратов делится на число степеней свободы в целом по совокупности

(5.2.11)

Поскольку , то величину скорректированного индекса детерминации можно представить в виде

(5.2.12)

Чем больше т, тем сильнее различия между и R².

Для линейной зависимости признаков скорректированный коэффициент множественной корреляции определяется как корень квадратный из скорректированного коэффициента детерминации. Отличие состоит лишь в том, что в линейной регрессии под т понимают число факторов, включенных в модель, а в криволинейной зависимости т – число параметров при х и их преобразованиях (х², loq x и др.). Так, для функции

y = a + b₁x₁ + c₁x²₁+ b₂x₂ + c₂x₂² m = 4.

При заданном объеме наблюдений с увеличением числа факторов скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает Его величина может стать и отрицательной при слабых связях результата с факторами, в этом случае он должен считаться равным нулю. Чем больше объем совокупности, тем ближе значения и R².

В статистических пакетах прикладных программ в процедуре множественной регрессии обычно приводится скорректированный коэффициент (индекс) корреляции (детерминации). Величина коэффициента детерминации применяется для оценки качества модели. Низкое значение показателя означает, что в модель не включены существенные факторы – с одной стороны, а с другой – форма связи не отражает реальные соотношения между переменными. Требуется дальнейшая работа по улучшению качества модели.

5.2.3. Частная корреляция.

Ранжирование факторов, участвующих в множественной линейной регрессии, может быть проведено с помощью стандартизованных коэффициентов регрессии, коэффициентов раздельной детерминации, а также с помощью частных коэффициентов корреляции для линейных связей, с помощью частных индексов детерминации для нелинейных связей.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, в отличие от полных, характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Пусть - остаточная дисперсия до введения фактора х₂ в модель, а – остаточная дисперсия после его введения. Тогда сокращение остаточной дисперсии за счет дополнительного введения фактора составит - .

Чем больше доля этого сокращения в остаточной вариации до введения этого фактора, тем сильнее его воздействие на результат при постоянном действии ранее включенного фактора. Следовательно, чистое влияние фактора х₂ на результат можно определить по формуле

(5.2.13)

А чистое влияние на результат фактора х₁

(5.2.14)

Если выразить остаточную дисперсию через показатель детерминации

s _ост² = σ_у ² (1 – r²), то формула коэффициента частной корреляции примет вид

(5.2.15)

Частные коэффициенты корреляции подтверждают ранг факторов по их воздействию на результат, проведенную на основе стандартизованных коэффициентов. Если из стандартизованного уравнения мы получаем, что , то тот же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции.

В эконометрике частные коэффициенты корреляции в основном используют на стадии формирования модели в процедуре отсева факторов.

Так, строя многофакторную модель методом исключения переменных

1) определяется уравнение регрессии с полным набором факторов;

2) рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции;

3) отбирается фактор с наименьшей и несущественной по критерию Т-Стьюдента величиной показателя частной корреляции, он исключается из модели;

4) строится новое уравнение регрессии и процедура повторяется до тех пор, пока не окажется, что все оставшиеся факторы существенно отличаются от нуля. Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения модели почти не отличаются друг от друга.