2. Оценка значимости. Точечная и интервальная оценки параметров уравнения регрессии

Пара-метры	Выборочная оценка параметров	Средняя ошибка, m	Значение критерия t-Стьюдента		Значимость фактического значения критерия t-Стьюдента	Доверительный интервал
			фактическое	критическое		нижняя граница	верхняя граница
в0	-226,0	54,6956	4,13	2,26	0,00255	-349,7	-102,2
в1	0,004	0,0005	7,56	2,26	0,00003	0,003	0,005
в2	3,935	0,8796	4,47	2,26	0,00155	1,945	5,925

Напомним, что найти критическое значение можно, используя функцию СТЬЮДРАСПОБР( ;n-p-1).

Как видно из табл. 2 все параметры оказались значимы на уровне от 0,003% до 0,255%, а задавали мы 5% уровень. Следовательно, можно дать точечную и интервальную оценку параметрам в генеральной совокупности.

Точечная оценка позволяет предположить, что генеральное уравнение будет иметь параметры:

, при соответствующих размерах средних ошибок (табл. 1).

Проведем интервальную оценку:

.

Для нашей модели с уровнем вероятности суждения 95% можно утверждать, что параметры генерального уравнения множественной регрессии попадут в интервалы:

;

Поскольку все параметры уравнения регрессии оказались значимыми, возможна их интерпретация. Коэффициенты чистой регрессии показывают, что:

- при увеличении уровня инвестиций на душу населения на 1 рубль уровень ВРП возрастет в среднем на 4 рубля (с уровнем доверия 95% можно утверждать, что он возрастет от 3 до 5 рублей), при условии, что уровень экономической активности останется зафиксированным на среднем уровне;

- при увеличении уровня экономической активности на 1%, ВРП на душу населения возрастет в среднем почти на 4 тыс. руб. (с уровнем доверия 95% можно утверждать, что он возрастет от 2 до 6 тысяч рублей), если второй фактор не изменится.

Условное начало интерпретации не подлежит.

Следует отметить, что модель можно использовать в целях прогнозирования, поскольку при высоком коэффициенте детерминации все параметры уравнения оказались значимы.

Чтобы продолжить корреляционный анализ и сравнить факторы по силе влияния, определить чистый вклад каждого фактора рассчитаем стандартизованные коэффициенты (коэффициенты эластичности (Э) и бета-коэффициенты (β)) и коэффициенты раздельной детерминации (d²) по каждому фактору:

;

;

,

где - средние значения, - среднеквадратические отклонения результативного признака, первого и второго факторного признака соответственно.

Сумма коэффициентов раздельной детерминации дает множественный коэффициент детерминации : .

Средние значения определим с использованием встроенной функции «СРЗНАЧ()», а среднеквадратические отклонения – «СТАНДОТКЛОНП()».

Для определения коэффициентов раздельной детерминации нам понадобятся коэффициенты парной корреляции каждого их факторов с результативной переменной. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции с использованием инструмента «Корреляция» пакета анализа данных EXCEL:

Результаты расчетов стандартизованных коэффициентов регрессии и коэффициентов раздельной детерминации оформим (табл.3).

3. Стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты раздельной детерминации

Переменная	Коэффициент чистой регрессии, b	Среднее значение	Среднеквадратическое отклонение, σ	Коэффициент парной корреляции с зависимой переменной, ryx	Коэффициент эластичности, Э	Бэта-коэффициент, β	Коэффициент раздельной детерминации, d^2
ВРП в расчете на душу населения (у)	х	45,8	16,8	1,000	х	х	х
инвестиции в основной капитал в расчете на душу населения (х1)	0,004	6289,5	3359,2	0,874	0,5	0,7	0,635
уровень экономической активности населения (х2)	3,935	63,3	1,8	0,681	х	0,4	0,292
Итого		х	х	х	х	х	0,927

Коэффициент эластичности (Э₁) показывает, что при увеличении инвестиций в расчете на душу населения на 1% ВРП возрастет на 0,5%, при условии, что экономическая активность будет зафиксирована на среднем уровне. Расчет коэффициента по второму фактору не имеет смысла, поскольку уровень экономической активности – это показатель структуры, уже выраженный в процентах от общей численности трудовых ресурсов. Так как , то по данному признаку отношение не имеет смысла.

-коэффициенты показывают, что если каждый из факторов изменится на свое среднеквадратическое отклонение, то ВРП под воздействием первого фактора изменится на 0,7 своего среднеквадратического отклонения, второго фактора – на 0,4. То есть, большее влияние на изменение ВРП оказывает уровень инвестиций.

Коэффициенты раздельной детерминации показывают вклад каждого фактора в формирование коэффициента множественной детерминации, вклад первого фактора – 0,635, второго – 0,292. Сумма частных коэффициентов равна коэффициенту детерминации: .

Итак, при анализе стандартизованных коэффициентов регрессии и коэффициентов раздельной детерминации было выявлено, что на уровень валового регионального продукта в расчете на душу населения влияние различий в уровне инвестиций сильнее, чем различий в уровне экономической активности населения.

5. Определим прогнозное значение ВРП на душу населения. Предположим, что в изучаемом округе удастся повысить уровень вложений с 6290 руб. до 7000 (в трех регионах уже достигнуты и более высокие уровни), т.е. запланируем прирост на уровне 10-11%; а уровень экономической активности увеличить на 1 % по сравнению со средним, т.е. предположим, что он достигнет 64,3%.

Подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии, тогда прогнозное значение ВРП составит: =52,4 тыс. руб. в расчете на душу населения, что на 6,6 тыс. руб., или 14,5%, больше достигнутого среднего уровня. Средняя ошибка прогноза ( ) зависит от среднеквадратического отклонения индивидуальных значений от выравненных по уравнению регрессии S_e (S_e=5,23 (см. рис. 1) и ошибки положения плоскости регрессии при экстраполяции факторных признаков (расчет этой ошибки производится с применением линейной алгебры, что не входит в программу дисциплины).

Пример точечного и интервального оценивания (студентам не требуется проводить аналогичные расчеты):

С использованием элементов линейной алгебры была получена средняя ошибка прогноза: .

Средняя ошибка прогноза велика вследствие большой дисперсии остатка, на величину которой в свою очередь оказывает влияние число степеней свободы, которое равно всего 9 регионам. Поэтому при увеличении числа наблюдений качество прогноза повысится.

Доверительный интервал прогноза имеет вид:

.

Прогнозное значение в генеральной совокупности при уровне вероятности суждения 95% будет находиться в пределах:

, т.е. от 40 до 65 тыс. руб.

Но в нашем случае средняя ошибка прогноза лишь немного превышает ошибку регрессии: , S_e=5,23.

Если в качестве приблизительной оценки взять S_e, то 95% доверительный интервал прогноза составит (без учета ошибки положения плоскости регрессии):

Т.е. прогнозное значение будет находиться в пределах от 41 до 64 тыс. руб. Результаты практически совпадают, таким образом, для данной модели регрессии интервальное оценивание может быть проведено только с учетом средней ошибки значения результативного признака (S_e).