2.6. Алгоритм решения задач

При проведении расчета на прочность рекомендуется придерживаться следующей последовательности действий.

1. Изобразить стержень, оставив рядом место для эпюр.

2. С помощью метода сечений определить продольную силу , возникающую в поперечных сечениях стержня. Построить эпюру продольной силы.

4. Вычислить расчетное нормальное напряжение , возникающее в поперечных сечениях стержня, и построить эпюру рядом с эпюрой .

5. Проверить прочность стержня, сравнив расчетное и допускаемое напряже­ния.

2.7. Статически неопределимые стержни

Статически неопределимыми системами называются такие системы, реакции связей в которых нельзя определить, пользуясь только уравнениями статики. Разность между числом реакций связей и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости. Прежде чем проводить расчет на прочность или жесткость элементов такой системы, необходимо раскрыть статическую неопределимость, то есть вычислить реакции связей. Для этого следует рассмотреть картину деформации системы и составить так называемое уравнение совместности перемещений.

Рассмотрим пример статически неопределимого стержня.

Стержень жестко заделан обоими концами (рис 2.10).

В заделках возникают реакции R₁ и R₂, направленные вдоль оси стержня.

Рис. 2.10

Т ак как на стержень действует система сил, направленных по одной прямой, то можно составить только одно уравнение равновесия

(2.7)

Неизвестных сил две, следовательно, стержень один раз статически неопределим. Для раскрытия статической неопределимости следует составить одно уравнение совместности перемещений. Длина стержня ℓ не может измениться, так как заделки этому препятствуют, следовательно, полная деформация Δℓ_полн стержня равна нулю, и уравнение совместности перемещений имеет вид

(2.8)

Полная деформация стержня состоит из суммы деформаций двух участков

(2.9)

где абсолютные деформации участков a и b вычисляются по формуле (2.3):

(2.10)

Применяя метод сечений, выразим продольные силы N₁ (в сечении 1 – 1) и N₂ (в сечении 2 – 2) через одну из реакций (например, через реакцию R₁ ).

Рис. 2.11

П ользуясь методом сечений и рис. 2.11, получаем:

(2.11)

У равнение совместности перемещений (2.8) после подстановки в него формул (2.9), (2.10) и (2.11) принимает вид

(2.12)

Из уравнения (2.12) определяем реакцию R₁ , а затем, воспользовавшись соотношениями (2.11), и продольные силы N₁ и N₂:

После определения продольных сил можно переходить к расчету на прочность.

Начальные (монтажные) напряжения в статически неопределимых системах. Свободная сборка статически неопределимых систем возможна лишь при весьма точном изготовлении их элементов. В противном случае сборку приходится осуществлять с приложением усилий, вызывающих деформации элементов. В результате после монтажа еще до приложения нагрузки в элементах конструкции возникают напряжения, называемые начальными или монтажными.

Рассмотрим пример. Пусть стержень длиной ℓ = 4м изготовлен короче на величину δ = 1,5мм. Модуль упругости материала стержня Е = 2•10⁵МПа.

Чтобы осуществить монтаж, придется растянуть стержень на такую же величину. Уравнение совместности перемещений принимает вид

Δℓ = δ, (2.13)

то есть деформация стержня должна быть равна погрешности его изготовления.

После сборки в стержне возникнет продольная сила. Применяя метод сечений, можно найти

Температурные напряжения в статически неопределимых системах.

И з физики известно, что при изменении температуры размеры тел изменяются. Рассмотрим статически неопределимый стержень, защемленный с двух сторон. При повышении температуры он стремится удлиниться. Этому препятствуют жесткие опоры, в результате чего возникают реакции, направленные вдоль оси стержня. Для их определения можно составить только одно уравнение равновесия. Система один раз статически неопределима. Для определения реакций необходимо составить одно уравнение совместности перемещений. Если бы один конец стержня был свободен, то стержень удлинился бы на величину

О днако наличие защемлений приводит к возникновению продольной силы N в сечениях стержня. В результате он укорачивается согласно закону Гука на величину

Уравнение совместности перемещений принимает вид

Температурные напряжения в некоторых случаях могут оказаться весьма значительными. Для их уменьшения в конструкциях предусматривают специальные зазоры.