Раздел 7. Сложное сопротивление

Раздел 7 курса включает четыре темы: «Косой изгиб», «Внецентренное нагружение», «Изгиб с кручением» и «Расчет безмоментных оболочек». После изучения раздела Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Работа с разделом 7 завершается выполнением задачи №11 контрольной работы №2, выполнением лабораторных работ №7, №9 согласно “Методическим указаниям к выполнению лабораторных работ” и сдачей контрольного теста №7.

Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним неограничено, и даются правильные ответы на вопросы.

Если Вы испытываете затруднения при ответе на какой - либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию по сопротивлению материалов [3], раздел 2 “Сложное сопротивление” и раздел 4 “Тонкостенные осесимметричные оболочки вращения”.

Основные понятия

В общем случае нагружения в поперечных сечениях элемента конструкции возникают одновременно несколько внутренних силовых факторов, учитываемых при расчете на прочность. Способность элемента конструкции воспринимать такую нагрузку называется сложным сопротивлением. При расчетах на прочность и жесткость элемент конструкции считается достаточно жестким, широко применяется принцип независимости действия сил, согласно которому сложное сопротивление рассматривается как сумма простых сопротивлений.

Для упрощения все приложенные силы разбиваются на группы сил, вызывающих простые сопротивления. Каждое простое сопротивление рассматривается отдельно от остальных. При этом определяются внутренние силовые факторы, строятся их эпюры и определяется положение опасного сечения. Для определения положения опасной точки строят эпюры напряжений, возникающих в опасном сечении. Затем записывают условие прочности, которое формулируется в зависимости от вида напряженного состояния в опасной точке.

7.1. Косой изгиб. Определение напряжений и перемещений. Положение нейтральной оси

Одним из видов сложного сопротивления является косой изгиб. Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб. При плоском косом изгибе (рис. 7.1) все силы расположены в одной плоскости, называемой силовой, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей бруса, а линии действия сил перпендикулярны оси бруса. В этом случае изогнутая ось бруса - плоская кривая, не лежащая в силовой плоскости. Именно эта особенность характера деформации обусловливает наименование – косой изгиб. При пространственном косом изгибе силы, вызывающие изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. В этом случае изогнутая ось бруса – пространственная кривая.

Рис.7.1

Косой изгиб можно рассматривать как сумму двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях ( рис. 7.2)

Рис. 7.2

При поперечном косом изгибе независимо от того - плоский он или пространственный, - в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы и изгибающие моменты и . Однако влияние на прочность бруса поперечных сил, как правило, незначительно, и в расчетах на прочность и жесткость ими пренебрегают.

Каждому внутреннему силовому фактору соответствуют напряжения:

; ; ; .

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется на основе принципа независимости действия сил (ПНДС) как алгебраическая сумма нормальных напряжений и , каждое из которых обусловлено одним из прямых изгибов:

=

В эту формулу каждое из слагаемых напряжений должно быть подставлено со своим знаком, определяемым из рассмотрения характера деформации бруса.

По эпюрам напряжений (рис. 7.3) видно, что максимальное нормальное напряжение растяжения возникает в точке А, а максимальное нормальное напряжение сжатия – в точке В сечения. Касательное напряжение в этих точках сечения равно нулю, поэтому поперечные силы при расчетах не учитываются и

Рис. 7.3

расчет на прочность ведется только по нормальным напряжениям.

Максимальное нормальное напряжение вычисляется по формуле

max max max ,

где max = ,max = .

Опасные точки – угловые точки А и В сечения. Для пластичного материала эти точки равноопасны, для хрупкого опаснее точка А. Так как в опасной точке возникает только нормальное напряжение, то в ней имеет место линейное напряженное состояние , и условие прочности имеет вид

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, согласно принципу независимости действия сил, определяется по формуле

= y z (7.1)

Знак плюс или минус соответствует характеру деформации бруса, координаты y и z рассматриваемой точки следует подставлять по абсолютной величине. Приравнивая нулю правую часть выражения (7.1), получаем уравнение нейтральной линии, из которого можно сделать вывод, что нейтральная линия – прямая, проходящая через начало координат (центр тяжести сечения) (рис.7.4) и имеющая угловой коэффициент, определяемый из выражения

= =

В отличие от прямого изгиба при косом изгибе нейтральная и силовая линии не будут взаимно перпендикулярны. Лишь в частном случае, когда , угол между нейтральной и силовой линиями будет прямым, изогнутая ось будет лежать в силовой плоскости, и, следовательно, изгиб будет прямым. Это означает, что для сечений типа круга, квадрата и т. п. косой изгиб невозможен.

Для построения суммарной эпюры нормальных напряжений проводим через центр тяжести сечения под углом к оси z нейтральную линию и параллельно ей две линии из крайних точек сечения. Ось эпюры перпенди-кулярна нейтральной линии (рис. 7.4).

Прогибы при косом изгибе определяются на основе принципа независимости действия сил путем геометрического суммирования прогибов, получающихся в направлении главных центральных осей (рис. 7.4).

Полный прогиб рассматриваемого сечения определяется по формуле:

f = .

При плоском косом изгибе направление прогиба перпендикулярно нейтральной линии и не совпадает с силовой линией

Рис. 7.4