5.2. Дифференциальные зависимости между q, q и м

При изгибе имеют место следующие дифференциальные зависимости:

. (5.1)

Зависимости (5.1) дают возможность проверить правильность построения эпюр Q_y и M_z . Так из соотношений (5.1) следует, что при q = const функция Q_y будет линей­ной функцией, а функция M_z  квадратичной функцией. Если на какихто участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, то есть q = 0, то на этих участках балки поперечная сила Q_y сохраняет постоянное значение, а изгибающий момент M_z является линейной функцией от x. В тех сечениях, где функция Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_z достигает экстремальных значений.

Кроме этого при построении эпюр следует учитывать: 1. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила, то значение поперечной силы в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.

2. Если в рассматриваемом сечении приложен сосредоточенный момент, то значение изгибающего момента в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенного момента.

3. На участках, где Q_y >0, изгибающий момент возрастает; если Q_y<0 - из­ги­бающий момент убывает.

5.3. Построение эпюр q и м

Пользуясь методом сечений, можно получить общие формулы для вычисления значений поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении n – n :

, . (5.2)

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении n – n равна сумме проекций на ось y рассматриваемого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, причем проекция силы берется со знаком плюс, если эта сила стремится вращать отсеченную часть балки по часовой стрелке.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении n – n равен сумме моментов относительно оси z рассматриваемого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, причем момент силы берется со знаком плюс, если от действия этой силы верхние волокна балки сжимаются.

При определении знаков слагаемых в правой части каждой формулы (5.2) удобно пользоваться следующими правилами.

При вычислении поперечной силы проекция внешней силы берется со знаком плюс, если эта сила направлена снизу вверх и расположена слева от сечения или, если эта сила направлена сверху вниз и расположена справа от сечения, как показано на рис. 5.4,а.

a) b)

Рис. 5.4

При вычислении изгибающего момента момент внешней силы берется со знаком плюс, если эта сила направлена снизу вверх (рис.5.4,b), на этом же рисунке показаны моменты, вызывающие положительный изгибающий момент.

Пример.

Для балки (рис.5.5) построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Д ано:

Рис. 5.5

Балка имеет три участка. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции), а также такие сечения, в которых начинается или заканчивается распределенная нагрузка.

1. Проведем произвольное поперечное сечение 1 – 1 на первом участке балки на расстоянии х от ее крайней левой точки (рис. 5.6). Первый участок расположен в пределах (0 ≤ х ≤ 1м).

Рис. 5.6

Рассмотрим внешние силы слева от проведенного сечения и, пользуясь формулами (5.2): , .

С оставим формулы для вычисления значений поперечной силы и изгибающего момента , возникающих в этом рассматриваемом сечении. Слева от рассматриваемого сечения находится сила Р, она направлена сверху вниз, и поэтому (в соответствии с рис. 5.4) в обе формулы она войдет со знаком минус:

Полученные выражения для и действительны только в пределах первого участка балки (0 ≤ х ≤ 1м).

Поперечная сила имеет постоянное значение во всех сечениях рассматриваемого участка балки. Изгибающий момент линейно зависит от координаты х, следовательно, для построения эпюры М_z в пределах первого участка достаточно определить значения в начале участка ( х = 0) и в конце участка (х = 1м):

2. Проведем произвольное поперечное сечение 2 – 2 на втором участке балки на расстоянии х от ее крайней левой точки (рис. 5.7). Второй участок расположен в пределах (1м ≤ х ≤ 3м).

Рис. 5.7

Снова рассмотрим внешние силы слева от проведенного сечения и, пользуясь формулами (5.2), составим формулы для вычисления значений поперечной силы и изгибающего момента , возникающих в этом рассматриваемом сечении. Слева от рассматриваемого сечения находятся две силы: Р и .Сила Р направлена сверху вниз и расположена слева от сечения, и поэтому в обе формулы она войдет со знаком минус, сила R_A направлена снизу вверх и расположена слева от сечения, и поэтому в обе формулы она войдет со знаком плюс:

Поперечная сила имеет постоянное значение во всех сечениях рассматриваемого участка балки. Изгибающий момент линейно зависит от координаты х, следовательно, для построения эпюры М_z в пределах первого участка достаточно определить значения в начале участка (х = 1м) и в конце участка (х = 3м):

3. Проведем сечение 3 – 3 на третьем участке балки (рис. 5.8). Теперь удобнее рассмотреть силы справа от проведенного сечения (сил справа от сечения меньше, чем сил слева от этого сечения). Третий участок находится в пределах (0 ≤ х ≤ 2м), так как в этом случае сечение проводится на расстоянии х от крайней правой точки балки.

Рис. 5.8

Справа от сечения 3 – 3 расположена сила R_B , момент М₂ и часть распределенной нагрузки q. Знаки в формулах (5.2) выбираем в соответствии с

рис. 5.4.

Составим формулу для вычисления поперечной силы . Сила R_B расположена справа от сечения 3 – 3 и направлена снизу вверх, поэтому она входит в формулу со знаком минус. Распределенную нагрузку q, действующую на участке длиной х следует предварительно заменить равнодействующей qx. Равнодействующая qx расположена справа от сечения 3 – 3 и направлена сверху вниз, поэтому она входит в формулу со знаком плюс.

Полученная зависимость – линейная. Для построения эпюры Q_y для построения эпюры на третьем участке достаточно определить величину при двух значениях абсциссы х:

Составим формулу для вычисления изгибающего момента . Сила R_B расположена справа от сечения 3 – 3 и направлена снизу вверх, поэтому она входит в формулу со знаком плюс. Равнодействующая qx расположена справа от сечения 3 – 3 и направлена сверху вниз, поэтому она входит в формулу со знаком минус. Эта равнодействующая приложена посередине участка длиной х, поэтому ее момент относительно центра тяжести сечения 3 – 3 равен

Момент М₂ расположен справа от сечения 3 – 3 и направлен против часовой стрелки, поэтому он входит в формулу для вычисления изгибающего момента со знаком плюс.

Окончательно формула для вычисления принимает вид:

Полученная зависимость от х – квадратичная (на эпюре будет изображаться параболой). Для построения эпюры М_z вычислим значения в начале и в конце третьего участка:

Для определения экстремального значения изгибающего момента воспользуемся положением, что функция достигает своего экстремума в той точке, в которой ее производная обращается в ноль. Но согласно дифференциальной зависимости производная от изгибающего момента равна поперечной силе

,

следовательно, М_z имеет экстремум в том сечении, в котором Q_y = 0.

П риравняв нулю, получим:

Координата х = 0,5м принадлежит рассматриваемому участку (0 ≤ х ≤ 2м), поэтому определяем экстремальное значение M_z :

По полученным значениям строим эпюры (рис.5.9).

Рис. 5.9