Вопросы для самопроверки
1. В каком случае нагружение называется изгибом?
2. Какой изгиб называется чистым изгибом (поперечным изгибом)?
3.Каково правило знаков, принятое для поперечной силы и изгибающего момента при изгибе?
4. Какая дифференциальная зависимость существует между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки?
5. Как вычисляются изгибающий момент и поперечная сила в поперечном сечении бруса?
6. Какие напряжения возникают в поперечном сечении при чистом (поперечном) изгибе?
7. В чем состоит условие прочности при изгибе.
8. Каковы формулы для вычисления осевого момента инерции и осевого момента сопротивления круглого и прямоугольного сечений?
9.Что называется прогибом и углом поворота сечения при изгибе?
10. В чем состоит аналитический способ определения перемещений?
Раздел 6. Статически неопределимые балки
Раздел 6 курса включает три темы: «Статически неопределимые балки», «Метод сил» и «Уравнение трех моментов». После изучения раздела Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.
Работа с разделом 6 завершается решением задач №8, №9 контрольной работы №2, выполнением лабораторной работы №6 согласно «Методическим указаниям к выполнению лабораторных работ» и сдачей контрольного теста №6.
Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним неограниченно, и на вопросы теста даются правильные ответы.
Если Вы испытываете затруднения при ответе на какой - либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию по сопротивлению материалов [ 3 ], раздел 1 “ Статически неопределимые балки”.
6.1. Статическая неопределимость балки. Степень статической неопределимости
Балка называется статически неопределимой, если реакции связей нельзя определить только из уравнений статики. Чтобы рассчитать такую балку на прочность, необходимо сначала раскрыть статическую неопределимость (найти реакции всех связей). Разность между числом неизвестных реакций связей и числом независимых уравнений статики балки без промежуточных шарниров называется степенью ее статической неопределимости.
Причиной статической неопределимости балки является наличие дополнительных (лишних) связей, которые не являются необходимыми для обеспечения ее геометрической неизменяемости. Балка называется геометрически неизменяемой, если перемещения ее точек могут происходить только за счёт деформаций элементов балки.
Введение лишних связей вызывается конструктивными соображениями.
Для расчета статически неопределимых балок требуется составление дополнительных уравнений (так называемых уравнений совместности перемещений), учитывающих характер деформаций. Одним из методов расчета статически неопределимых балок является метод сил.
6.2. Метод сил
При применении этого метода заданная статически неопределимая балка мысленно освобождается от лишних связей, а их действие заменяется силами и моментами, величина которых подбирается таким образом, чтобы перемещения соответствовали ограничениям, налагаемым на балку отброшенными связями. При этом неизвестными оказываются силы.
При освобождении от лишних связей балка становится статически определимой. Она называется основной балкой. На основную балку кроме заданной нагрузки действуют неизвестные реакции Х1, Х2, ..., Хп отброшенных связей, где п – степень статической неопределимости балки. Силы Х1, Х2,..., Хп называются лишними неизвестными.
Полученная основная статически определимая и исходная статически неопределимая балки должны быть эквивалентны. В них должны возникать одинаковые внутренние силовые факторы и происходить одинаковые перемещения. Это условие служит для определения лишних неизвестных Х1, Х2,..., Хп. Для этого составляется система уравнений совместности перемещений.
Рассмотрим конкретный пример. Предположим, что имеется дважды (n=2) статически неопределимая балка (рис. 6.1,а). Основную балку (рис. 6.1,б) получим отбрасыванием промежуточных опор 1 и 2. Их действие заменим неизвестными усилиями Х1, Х2, приложенными по направлению устраненных связей (рис. 6.1,в). Основная балка будет эквивалентна исходной при условии, что перемещения Δ1 и Δ2 (рис. 6.1,в) точек приложения сил Х1 и Х2 по направлению этих сил равны нулю, т.к. в исходной балке в этих точках расположены опоры, препятствующие перемещению по вертикали.
По принципу независимости действия сил, эти условия можно записать в виде
Δ1X
+ Δ1Х
+
Δ1Р
= 0
Δ2Х
+ Δ2Х
+
Δ2Р
= 0 (6.1)
здесь
-
перемещение точки i
по направлению силы Хj
(рис. 6.1,в); ΔiР-
перемещение точки i
по тому же
направлению от действия заданной
нагрузки (рис. 6.1,д).
Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, то для можно записать
=
,
где
перемещение точки приложения силы
Хi
по направлению
действия этой силы, вызванное единичной
силой Хj
= 1 (рис.
6.1, д).
Теперь уравнения (6.1.) примут вид:
δ11 Х1 + δ12 Х2 + Δ1Р = 0 (6.2)
δ21 Х1 + δ22 Х2 + Δ2Р = 0
Уравнения (6.2) носят название канонических уравнений метода сил. Из них нетрудно определить величину лишних неизвестных Х1, Х2.
Для случая п раз статически неопределимой балки канонические уравнения имеют вид:
δ11
Х1
+ δ12
Х2
+
... + δ1п
Хп
+
Δ1Р
= 0
δ21 Х1 + δ22 Х2 + ... + δ2п Хп + Δ2Р = 0
...............................................................
δп1 Х1 + δ n2 Х2 + ... + δпп Хп + ΔпР = 0 (6.3)
Рис 6.1