3.3. Деформированное состояние в точке (обобщенный закон Гука)

Выделим из тела элементарный параллелепипед с бесконечно малыми размерами ребер, грани которого совпадают с главными площадками

( рис. 3.4).

Рис. 3.4

σ₁, σ₂ и σ₃ - главные напряжения. Обозначим ε₁, ε₂ и ε₃ – относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельные этим напряжениям. Деформации ε₁, ε₂ и ε₃ - называются главными деформациями. На основании принципа независимости действия сил исходное объемное напряженное состояние можно рассматривать как сумму трех одноосных напряженных состояний (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Значения ε₁, ε₂ и ε₃ определим, последовательно рассматривая влияние напряжений σ₁, σ₂ и σ₃. Представим ε₁ как сумму трех деформаций

,

где - деформация от напряжения σ₁, - деформация от напряжения σ₂, - деформация от напряжения σ₃.

Деформация , обусловленная напряжением σ_1, является продольной деформацией, при действии напряжений σ₂ и σ₃ деформации и - будут поперечными деформациями, поэтому на основании закона Гука

В этих формулах Е – модуль упругости, μ – коэффициент Пуассона.

Складывая, получим:

Рассматривая аналогичным образом деформации ε₂ и ε₃, получим обобщенный закон Гука, связывающий главные деформации и главные напряжения:

Вопросы для самопроверки

1. Что представляют собой главные напряжения и главные площадки? Как расположены главные площадки друг относительно друга?

2. Чему равны касательные напряжения на главных площадках?

3. В каком случае напряженное состояние называется пространственным (трехосным), плоским (двухосным) и линейным (одноосным)?

4. Что представляют собой площадки сдвига и как они наклонены к главным площадкам?

5. Понятие о гипотезах прочности

6. Как проверить прочность материала при сложном напряженном состоянии?

7. На основе какого из допущений, принятых в курсе сопротивления материалов, составлены выражения обобщенного закона Гука?

Раздел 4. Сдвиг. Кручение

В этом разделе рассматривается 6 тем: чистый сдвиг, крутящий момент и построение эпюр, определение напряжений и условие прочности, определение перемещений и условие жесткости, геометрические характеристики поперечных сечений, рациональные формы поперечного сечения. После изучения материала этого раздела можно решить задачу №4 в контрольной работе №1 для всех специальностей и ответить на вопросы для самопроверки. Проверить степень усвоения материала следует по тесту к этому разделу №4.

1. Чистый сдвиг. Условие прочности

Чистым сдвигом называется такой вид простого сопротивления бруса, при котором в окрестности данной точки можно выделить элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под действием одних лишь касательных напряжений. Пример такого нагружения представлен на рис. 4.1. Силы Р действуют на малом расстоянии друг от друга.

Рис. 4.1

Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням элемента действуют только касательные напряжения (рис.4.2,а).

а) b)

Рис. 4.2