8.3. Потеря устойчивости за пределом пропорциональности

Явление потери устойчивости имеет место и для стержней, гибкость которых меньше предельной λ < λ_пред. В этом случае формула Эйлера неприменима, т.к. критическое напряжение, соответствующее критической силе , превышает предел пропорциональности: σ_кр > σ_пц .

Для таких стержней критическое напряжение определяется по эмпирической формуле Тетмайера – Ясинского:

σ_кр = а – bλ, (8.2)

где а, b – коэффициенты, зависящие от материала стержня. Соответствующая критическая сила будет

P_кр = σ_кр · А

При некотором значении гибкости (обозначим её λ₀) σ_кр, вычисленное по формуле (8.2), становится равным пределу текучести σ_Т – напряжению, которое является опасным (предельным) при статическом нагружении.

8.4. График зависимости критического напряжения от гибкости стержня

Таким образом, сжатые стержни можно отнести к трем категориям:

1. стержни большой гибкости (λ ≥ λ _пред), для которых справедлива формула Эйлера;

2. стержни средней гибкости (λ ₀ < λ < λ _пред), которая рассчитывается по формуле Тетмайера – Ясинского;

3. стержни малой гибкости (λ ≤ λ ₀), которые следует рассчитывать не на устойчивость, а на прочность.

На рис. 8.3 приведён график зависимости σ_кр = σ_кр (λ) .

Из графика (рис. 8.3) видно насколько завышенным может оказаться значение критического напряжения, если для стержня средней гибкости

(λ ₀ < λ < λ _пред) воспользоваться формулой Эйлера (см. пунктирную линию).

Рис. 8.3

8.5. Рациональные формы поперечных сечений

При выборе формы поперечного сечения следует иметь в виду, что в соответствии с формулой Эйлера (8.1) сечение тем выгоднее, чем больше его минимальный момент инерции J_min . При одной и той же площади А увеличение момента инерции сечения достигается сосредоточением материала на периферии поперечного сечения. При этом необходимо стремиться к равенству главных центральных моментов инерции. Тогда при одинаковом закреплении в главных плоскостях будет обеспечена равноустойчивость стержня.

Теоретически наиболее рациональным является кольцевое сечение, имею-

щее наибольший момент инерции при данной площади и одинаковую жесткость по всем направлениям. Также возможными являются коробчатые тонкостенные сечения и сечения, составленные из прокатных профилей, раздвинутых на необходимое расстояние.

Наименее рациональны прямоугольные сплошные сечения.

Примеры расчета стержня на устойчивость смотри в [ 3 ], раздел 3.

8.6. Продольно - поперечный изгиб

На рис. 8.4 представлена балка с шарнирно закрепленными концами, нагруженная некоторой поперечной силой Р и сжимающей силой S, действующей вдоль оси балки.

Рис. 8.4

В этом случае возникает продольно-поперечный изгиб - сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением.

Полный прогиб y можно рассматривать состоящим из прогиба y⁰,

возникающего от действия только поперечной нагрузки, и дополнительного

прогиба, равного y – y⁰, вызванного силой S.

Для достаточно жесткой балки, для которой полный прогиб мало отличается от прогиба y⁰, вызванного только поперечной силой, можно пренебречь влиянием силы S и проводить ее расчет на совместное действие центрального сжатия и поперечного изгиба.

Для балки, жесткость которой невелика, влияние силы S на изгибающий момент и прогибы может быть существенным и пренебрегать им нельзя. В этом случае балку следует рассчитывать на продольно-поперечный изгиб.

Используя методику приближенного расчета, считаем, что дополнительный прогиб y – y⁰ принимает форму синусоиды

.

После подстановки этого соотношения в приближенное дифференциальное уравнение упругой линии можно получить выражение для прогиба балки при совместном действии продольной и поперечной нагрузок:

Оно дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила S не превосходит 0,8P_Э . В этом выражении P_Э – так называемая эйлерова сила, вычисляемая по формуле , которая в отличие от критической силы Р_кр используется независимо от гибкости балки. При других типах опорных закреплений балки в формулу для вычисления эйлеровой силы Р_Э вместо длины балки следует подставлять приведенную длину .

В формулу для определения эйлеровой силы Р_Э входит момент инерции относительно той из главных осей инерции поперечного сечения, которая перпендикулярна плоскости действия поперечной нагрузки.

Наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в поперечном сечении при продольно-поперечном изгибе определяются по формуле:

Кроме расчета на продольно-поперечный изгиб сжатоизогнутые стержни необходимо рассчитывать и на устойчивость, так как, например, продольно – поперечный изгиб балки может происходить в вертикальной плоскости, а потеря устойчивости – в горизонтальной плоскости.

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2.Какая сила называется критической?

3.Напишите формулу Эйлера для определения критической силы.

4.Что называется гибкостью стержня? Какова ее размерность?

5.Чему равен коэффициент приведения длины для различных случаев закрепления концов стержня?

6.Что называется предельной гибкостью? Какова ее размерность?

7.Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

8.Почему недопустимо применение формулы Эйлера для критической силы при любой гибкости стержня?

9.Как найти значение критического напряжения для стержней средней и малой гибкости?

10.Как производится проверка стержня на устойчивость с помощью коэффициента снижения основного допускаемого напряжения на сжатие?