4.2. Крутящий момент. Построение эпюр

Кручением называется такой вид простого сопротивления бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент М_кр . Кручение вызывается, например, парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных оси бруса (рис. 4.4). Брус, работающий на кручение, часто называют валом.

Рис. 4.4

В разных поперечных сечениях крутящий момент может иметь разные значения. Для наглядности строят эпюру крутящего момента - график изменения крутящего момента по длине бруса. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на торец отсеченной части бруса он представляется направленным по движению часовой стрелки (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Рассмотрим применение метода сечений для определения величины крутящего момента в произвольном поперечном сечении n – n вала (рис.4.6) . Изобразим левую отсеченную часть вала, укажем положительный крутящий момент в сечении n – n.

М₁ = 10кНм,

М₂ = 20кНм,

М₀ = 60кНм,

М₃ = 30кНм.

Рис. 4.6

Составим уравнение равновесия для отсеченной части вала

Из уравнения равновесия вычислим значение крутящего момента

Выполняя аналогичные действия, найдем значения крутящего момента в сечениях на других участках вала, построим эпюру крутящего момента

( рис. 4.7)

Рис. 4.7

4.3. Определение напряжений при кручении. Условие прочности

При кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения τ. В центре сечения τ = 0, в точках сплошного круглого сечения, равноудаленных от центра сечения, напряжения τ одинаковы. Максимального значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения и вычисляются по формуле (4.1).

(4.1)

где М_кр – крутящий момент в рассматриваемом сечении вала, W_P – полярный момент сопротивления сечения (см³),

для круга . (4.2)

Эпюра касательных напряжений для сплошного круглого сечения имеет вид (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Условие прочности при кручении записывается:

(4.3)

П осле подстановки в неравенство (4.3) формул (4.1) и (4.2) условие прочности принимает вид

откуда следует формула (4.4) для вычисления диаметра вала из условия прочности

. (4.4)

4.4. Определение перемещений при кручении. Условие жесткости

При кручении вала сплошного круглого сечения поперечные сечения поворачиваются вокруг оси, оставаясь при этом плоскими (рис.4.9). В начале нагружения справедлив закон Гука, по которому касательные напряжения τ прямо пропорциональны углу сдвига γ (рис. 4.9):

τ = Gγ,

коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига (величина постоянная для данного материала) характеризует жесткость материала при кручении.

γ

Рис. 4.9

На рис. 4.9 γ – угол сдвига, φ - угол закручивания на участке вала длиной ℓ . Величина φ вычисляется по формуле (4.5)

(4.5) где М_кр – крутящий момент в сечениях на участке вала длиной ℓ , G - модуль сдвига материала вала, J_P - полярный момент инерции сечения (см⁴),

для круга . (4.6)

Величина угла φ зависит от длины ℓ участка. Более удобной характеристикой угловой деформации вала является относительный угол закручивания .

(4.7)

С учетом формулы (4.6) формула (4.7) принимает вид:

(4.8)

Условие жесткости при кручении записывается:

(4.9)

После подстановки в неравенство (4.9) формул (4.8) и (4.6) условие жесткости принимает вид

,

откуда следует формула (4.10) для вычисления диаметра вала из условия жесткости

. (4.10)