Раздел 8. Устойчивость сжатых стержней

Раздел 8 курса включает 6 тем: «Основные понятия», «Формула Эйлера для критической силы», «Потеря устойчивости за пределом пропорциональности», «График зависимости критического напряжения от гибкости стержня», «Рациональные формы поперечного сечения» и «Продольно-поперечный изгиб». После изучения раздела Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Работа с разделом 8 завершается выполнением задачи №13 контрольной работы №3, выполнением лабораторной работы №8 согласно “Методическим указаниям к выполнению лабораторных работ” и сдачей контрольного теста №8.

Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним неограничено, и на вопросы теста даются правильные ответы.

Если Вы испытываете затруднения при ответе на какой – либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию по сопротивлению материалов [ 3 ], раздел 3 “ Устойчивость центрально сжатых стержней”.

8.1. Основные понятия

Центрально сжатые стержни помимо расчета на прочность необходимо рассчитывать на устойчивость (продольный изгиб). При потере устойчивости ось стержня изгибается и стержень испытывает совместное действие сжатия с изгибом (рис. 8.1).

Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается P_кр.

Рис.8.1.

Даже при незначительном превышении критического значения нагрузки возникают недопустимо большие прогибы и напряжения, поэтому состояние стержня, соответствующее критической силе следует считать опасным (предельным).

Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо, чтобы удовлетворялось условие:

P ≤ [P],

где [P] – допускаемая нагрузка, [P] = ;

[п]_у – требуемый коэффициент запаса устойчивости.

8.2. Формула Эйлера для критической силы

Критическая сила (при потере устойчивости в упругой стадии) вычисляется по формуле Эйлера:

P_кр = , (8.1)

где Е - модуль упругости; - минимальный момент инерции поперечного сечения; µ - так называемый коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

На рис.8.2 показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента приведения длины.

Рис. 8.2

Напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при достижении сжимающей силой критического значения, называется критическим напряжением .Формула Эйлера справедлива при условии σ_кр σ_пц (критическое напряжение не превышает предела пропорциональности). Обычно условие применимости формулы Эйлера выражают через гибкость стержня , которая вычисляется по формуле , где - длина стержня; - минимальный радиус инерции сечения (А – площадь поперечного сечения).

Условие применимости формулы Эйлера в этом случае имеет вид:

λ ≥ λ_пред ,

где λ_пред – предельная гибкость стержня, зависящая от физико-механических свойств его материала: λ _пред = (σ_пц – предел пропорцианальности).