6.3. Уравнение трех моментов

С увеличением степени статической неопределимости балки канонические уравнения (6.3) становятся громоздкими, т.к. каждое уравнение содержит, вообще говоря, все лишние неизвестные. При этом усложняется определение .

Расчет существенно упрощается, если вместо канонических уравнений использовать уравнение трёх моментов.

Для расчета неразрезной балки методом трех моментов удобно в качестве основной выбрать балку с шарнирами над каждой из промежуточных опор, нагруженную заданной нагрузкой и изгибающими моментами М₁, М₂ ,…, М_п (лишними неизвестными), возникающими в исходной балке в сечениях над промежуточными опорами и заменяющими отброшенную связь между соседними пролетами (рис.6.2,б). Моменты М₁, М₂ ,…, М_п изображаются положительными, т.е. направленными так, чтобы они вызывали сжатие верхних волокон балки.

Таким образом, каждый пролет преобразуется в простую балку на двух шарнирных опорах, а вся неразрезная балка заменяется совокупностью таких балок (рис. 6.2,в). В опорных сечениях каждой балки приложены моменты, заменяющие влияние отброшенных частей балки.

Моменты М₁, М₂ ,…, М_п определяются из условия непрерывности изогнутой оси неразрезной балки на опорах. Для любой промежуточной опоры п это условие удовлетворяется, если изогнутые оси двух смежных пролетов имеют общую касательную на этой опоре, т.е. угол поворота θ_п,п поперечного сечения, принадлежащего пролёту l_п и непосредственно примыкающего к опоре п равен углу поворота θ_п,п+1 поперечного сечения, принадлежащего пролёту l_п+1 и также непосредственно примыкающего к опоре п (рис.6.2,г).

θ_п,п = θ_п,п+1 .

Угол поворота θ_п,п можно рассматривать как результат воздействия на

на однопролётную балку длиной l_п заданной внешней нагрузки и двух неизвестных опорных моментов М_п-1, М_п:

θ_п,п = ,

где верхний индекс М_п-1, М_п указывает на то, что угол поворота вызван неизвестными опорными моментами М_п-1, М_п, а индекс Р – что он вызван заданной нагрузкой (рис. 6.3. а).

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Аналогично угол поворота θ_п,п+1 (рис. 6.3, б) равен:

θ_п,п+1 = ,

Произведя преобразования, получим уравнение:

М_п-1· l_п +2 М_п(l_п + l_{п +1}) + М_п+1· l_п+1 = 6EJ( ). (6.4)

В уравнение (6.4) входят только три неизвестных момента, поэтому оно называется уравнением трех моментов. При расчете неразрезных балок такое уравнение составляется для каждой пары соседних пролетов. Количество уравнений равно степени статической неопределимости балки. Совместное решение этих уравнений позволяет определить неизвестные изгибающие моменты М₁, М₂ ,…, М_п в сечениях над опорами. Затем можно найти опорные реакции и построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы.

Величины углов поворота сечений и (рис.6.4), вызванных заданной внешней нагрузкой, расположенной на пролетах l_п и l_п+1, можно определить любым способом - аналитическим или графическим.

При применении графического метода (правило Верещагина) получаются довольно простые формулы, упрощающие составление уравнений трех моментов.

Поясним это на примере, рассмотрев два соседних пролета, прилегающих слева и справа к опоре n (рис.6.4).

Рис. 6.4

Используя правило Верещагина, можно записать:

= ; = ,

где ω_n – площадь эпюры изгибающего момента на пролете l_п;

ω_n+1 – площадь эпюры изгибающего момента на пролете l_п+1;

а_n – расстояние от центра тяжести эпюры М_изг на пролете l_п до левой

опоры;

b_n+1 – расстояние от центра тяжести эпюры М_изг на пролете l_п+1 до

правой опоры.

Величины ω_n , ω_n+1 , а_n , b_n+1 обозначены на рис. 6.4.

Окончательно уравнение трех моментов примет вид:

М_п-1· l_п +2 М_п(l_п + l_{п +1}) + М_п+1· l_п+1 =

ω_n , ω_n+1 , имеют знаки, соответствующие знакам эпюры М_изг.

Примеры расчета приведены в [ 3 ], Раздел 1.

Вопросы для самопроверки

1. Какая система называется статически неопределимой?

2. Какие балки называются неразрезными?

3. Как определяется степень статической неопределимости неразрезной балки?

4. В чем состоит метод сил для раскрытия статической неопределимости неразрезной балки?

5. Какая связь называется лишней?

6. Что называется лишней неизвестной?

7. Какая балка называется основной?

8. Какая балка называется эквивалентной?

9. Что принимают в качестве лишних неизвестных при раскрытии статической неопределимости неразрезных балок с помощью уравнения трех моментов?

10. Приведите общий вид уравнения трех моментов?

11. Какое преимущество по сравнению с другими способами раскрытия статической неопределимости неразрезных балок имеет применение уравнения трех моментов?