Методика та приклади розв'язування типових задач Фінансово-математичні основи оцінки доцільності інвестицій

Задача 1.

Визначити скільки отримає інвестор за 4 років, якщо вкладе 110 тисяч гривень під 10% річних. Проценти нараховуються раз на рік за умовами складно­го нарахування. Порівняти результати з простим нарахуванням відсотків.

В інвестиційній діяльності за терміну реалізації проектів до 1 року (якщо не зазначено інше) приймається проста схема нарахування відсотків, а при терміні більше одного року - складна схема нарахування процентів.

(32)

У випадку простого нарахування відсотків матимемо наступну формулу для розрахунку:

(33)

Як бачимо з розрахунків для інвестора фінансовий результат краще для застосування складної схеми нарахування відсотків, що не дивно, адже від­сотки в наступному періоді будуть нараховуватися і на отриману інвестором вигоду від операції (відсотки) за попередній період.

Відповідь: якщо інвестор вкладе свої кошти на рік за умовами складного нарахування раз на рік, то через 4 роки він отримає 161,05 тис.грн. За цей же період при простому нарахуванні відсотків він отримає лише 154 тис.грн.

Задача 2.

Яка майбутня вартість 700 гр. од., вкладених під 10% річних на 4 років з нарахуванням відсотків один раз на квартал?

Якщо в межах загального періоду ( буде здійснюватися нарахування від­сотків з відповідною періодичністю п, то формула знаходження майбутньої вартості матиме вигляд:

(34)

Відповідь: майбутня вартість 800 гр.од. за наведених умов становить 1147,03 гр.од.

Задача 3.

Що Ви оберете: 4500 доларів готівкою сьогодні чи 1200 доларів щороку протягом 4 років. Припустимо, що річна ставка відсотків 15%.

Це завдання можна вирішити трьома різними способами: 1) порівняти майбутні вартості у обох випадках; 2) порівняти в обох випадках теперішні вартості; 3) порівняти розмір ануїтетів.

1) FV(4500) = 4500 • (1 + 0.15)⁴ = 7870.53,

(35)

(у випадку застосування фінансових таблиць значення дорівнює 5991,60);

(36)

(у випадку застосування фінансових таблиць значення дорівнює 3426,00);

(37)

Відповідь: вигідніше отримати 4500 одразу сьогодні, а не ануїтет 1200 протягом 4 років.

Задача 4.

Шість платежів по 150 гр. од. кожен потрібно вносити за схемою пренумерандо, враховуючи, що річна ставка відсотків 10% за період між платежа­ми. Скільки гр. од. буде у кінці останнього періоду? Як зміниться фінансовий результат при застосуванні схеми постнумерандо?

(38)

(39)

Відповідь: При застосуванні схеми пренумерандо фінансовий результат більший.

Задача 5.

Фінансовий менеджер пропонує Вам інвестувати в підприємство 85 тис. грн., обіцяючи повернути 88 тис. грн. через 2 роки. У Вас є також інші альтернативи. За яких умов запропонований варіант інвестування буде найпривабливішим?

Слід знайти ставку для порівняння (альтернативну вартість).

(40)

Відповідь: запропонований варіант інвестування буде найпривабливішим, тільки якщо дохідність за альтернативними варіантами буде меншою запропонованої ставки відсотків.

Задача 6.

Сьогодні на Вашому рахунку є 120 тис. грн., на які банк нараховує 16% річних раз на рік за умовами складного нарахування. Яку суму можна знімати щорічно з рахунку, щоб їх вистачило на 15 років за інших рівних умов. У подібного роду задачах потрібно відшукати суму ануїтету за умови, що банк продовжуватиме нараховувати відсотки на залишок суми на рахунку.

(41)

Відповідь: можна знімати щорічно з рахунку суму 21522,90 грн.

Задача 7.

Скільки років потрібно вкладати по 100 грн. на рахунок у банку, щоб стати мільйонером? Річна ставка відсотків зі складним нарахуванням становить 17%. Тобто потрібно знайти кількість періодів, які вноситься однакова за розміром сума. Ця сума, яка вноситься через рівні проміжки часу в однако­вому обсязі, є нічим іншим, як ануїтетом, а тому знайти потрібно з формули ануїтету.

(42)

Відповідь: через 47,38 років.

Задача 8.

Кредит у сумі 1000 грн. виданий 2 березня до 11 грудня під 20% річних, рік високосний. Визначити розмір заборгованості за таких умов розрахунку: 360/360; 365/365; 365/360.

(43)

де п - кількість днів за рік (фактична або номінальна);

т - кількість днів за період нарахування відсотків (фактична або номі­нальна).

Номінальна кількість днів у році - 360.

Фактична кількість днів у році - 366 (рік високосний).

Номінальна кількість днів у періоді нарахування - 280.

Фактична кількість днів у періоді нарахування - 284.

Відповідь: найкращий варіант для того, хто отримуватиме вигоду є за­стосування бази нарахування відсотків за схемою фактично/номінально, що забезпечує найбільший фінансовий результат.

Задача 9.

Первинна сума вкладу становить 200 тис. грн. Визначити суму вкладу через 5 років для випадку, коли відсотки нараховуватимуться неперервно. У цьому разі мова йде про використання властивостей границі, а тому:

(44)

Відповідь: якщо проценти нараховуватимуться неперервно, то первинна сума вкладу 200 тис. грн. за 5 років становитиме більше 811,04 тис. грн.

Задача 10.

Визначити, під яку ставку процентів вигідніше розмістити капітал у сумі 10 млн. гр.од. на три роки під 40% річних простого нарахування чи 35% річ­них щоквартального складного нарахування.

У даному випадку не обов'язково вираховувати величину накопиченої су­ми, яка буде отримана в обох варіантах по закінченні періоду. Доцільно ви­значити тільки еквівалентну ставку або ставці за простим нарахуванням або ставці за складним нарахуванням відсотків.

У першому випадку такий самий результат через три роки як і при про­стому нарахуванні можна отримати за простим нарахуванням за ставкою, що дорівнює:

(45)

Отже ставці 35% р.а. складного нарахування еквівалента ставка 58% р.а. простого нарахування. Отримана ставка значно перевищує запропонований альтернативний варіант 40% р.а. простого нарахування. Отже доцільно роз­містити кошти під 35% річних.

Це ж завдання можна вирішити інакше. Розглянемо і другий варіант, щоб упевнитися в правильності розрахунків. Слід визначити таку ставку відсот­ків за складним нарахуванням, яка б забезпечила отримання такого ж резуль­тату як і при 30% річних простого нарахування. Зробити вказане можна за допомогою наступної формули:

(46)

Отримана ставка значно менша запропонованої 35% р.а. складного на­рахування, що підтверджує правильність попередніх розрахунків. Отже до­цільно розмістити кошти під 35% річних.

Відповідь: ставці 35% р.а. складного нарахування еквівалента ставка 58% р.а. простого нарахування, а ставці 40% річних простого нарахування еквівалента ставка 30% р.а. складного нарахування.

Задача 11.

Слід визначити таку ставку відсотків за складним нарахуванням, яка б забезпечила отримання такого ж результату як і при 30% річних простого на­рахування. Зробити вказане можна за допомогою наступної формули:

(47)

Отримана ставка значно менша запропонованої 30% р.а. простого нара­хування.

Задача 12.

Капітал, отриманий в кредит, вкладений під ставку 22% р.а. складного нарахування. Для розрахунку з кредиторами необхідно сплатити 20 млн. грн. через 2 роки або 26 млн. грн. через 3 роки. Який варіант розрахунку з бор­гами кращий? Для відповіді на це запитання треба знайти ставку рівності і порівняти відомі ставки з отриманою.

(48)

Отримана ставка 20% менше заданої 22%, отже величина більшої суми виявилася меншою, а тому борг доцільніше повернути через три роки.

Методи оцінки доцільності фінансових інвестицій

Задача 1.

Визначити поточну ринкову вартість облігації на основі обґрунтованого вибору відповідної моделі та зробити висновок щодо доцільності здійснення інвестування у фінансовий актив за такими умовами:

Таблиця 7.1..