2.7. Действия с операторами и их матрицами							59
ImgP = {Vy: y^ai					+ pj+'yk,		а , / 3 , 7 е К } ,	R g P = 3,
KerP = {0}, DefP = 0:
		/	1/2		- 1/2	О \
7.	P= \		- 1 / 2		1/2	0 ;
		V		0	0	l /
ImgP = {Vy:				y = ai-aj+0k,			a , / 3 e R } ,	RgP^=2,
KerPrr{Vx:				f = 7П,		n = {l,l,0}, 7 € R},		DefP = 1.
		/ 1		0	0 \
8.	P =		0	0	1 ;
		Vo		1	o/
ImgP = {Vy:				y^ai	+ 0j+jk,		a,P,jeR},	R g P = 3,
KerP = {6},				DefP = 0.
		/	1 0			0
9.	P =		0	1/4		- N / 3 / 4
		V 0		-V3/4		3/4
ImgP = {Vjr: y^ai					+ l3j-V30k,		a , / 3 e R } ,	RgP^=2,
KerP = {Vx: f=N/37j+7fe,							7 e R},	Def P = 1.
		/	\/2/2		0	- \/2/2
10.	P =			0	1	0
		V 4/2/2			0	\/2/2
ImgP = {Vy: y = m + /3j+7fc,							a,/3,7 € R},	R g P = 3,
KerP = {6},				DefP = 0.

2.7.Действия с операторами и их матрицами

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. В некотором базисе трехмерного линей­ ного пространст,ва Хз заданы отображенгия

X |-> Ах —

= {aiixi + ai2X2 + 013X3,021X1 + 022X2 + a2zX3,031X1 + 032X2 + 033X3},

60			Гл. 2. Линейная алгебра
X |-> Вх	=
= {biiXi-}-bi2X2		+ bi3X3, b2iXi-{-b22X2 + b23X3, bsia^i + 632^2 + 6332^3 }j
где X = {х1,Х2,хз}		— произвольный		вектор	пространства		Х^-
Найти координаты			вектора у =	Р{А, В)х	{в том	эюе базисе), где
Р{А,В)	— многочлен		относительно	операторов А и		В.
П Л А Н Р Е Ш Е Н И Я .			Так как при сложении операторов их				матрицы

складываются, при умножении на число — умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц,

то нужно найти матрицу Р(А, В),						где А ж В			— матрицы операторов
AvL В.	Затем столбец координат					вектора у			=	Р(А,В)Х	находим по
формуле Р ( Л , В)		• X , где X — столбец координат вектора х.
1. Построим матрицы операторов А и В:
		а ц	ai2	ai3	\		/	Ьц		bi2	bis
	А= \	а21	а22	^23	1 ,	В	= \	621		^22	^23
		^31	аз2	«33	/		\	^31		Ьз2	Ьзз
2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и
умножения матриц находим матрицу							Р{А,В):
					Ри		Р12	Pi3
			Р{А,	В) =	( Р21		Р22	Р23
					Р31		Р32	РЗЗ
3.	Находим столбец координат образа вектора х:

Ри Pi2 Р13 Р21 Р22 Р23 Р31 Р32 РЗЗ

Записываем ответ в виде Р ( А , В ) х = {yi,г/2?Уз}-

П Р И М Е Р . В некотором базисе трехмерного линейного простран­ ства Хз заданы отображения

ж |-> Аж = {xi + Ж2 - жз, Ж2 Н- жз, жз},

ж |-> Вх = {х2 + 2жз, - a:i, Ж2},

где ж = {ж1, Ж2, Жз} — произвольный вектор пространства Х^. Найти координаты вектора {2А -{- Ао В)х в том же базисе.

2.7. Действия с операторами и их матрицами

61

РЕШЕНИЕ.

1. Построим матрицы операторов А и. В:

1	1	-м		/'	0	1	2
А = 0	1	1		и Б =	- 1 0 0
0	0	1	/	\,	0	1	0

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц вычисляем матрицу 2А + АВ:

1	1
О	1
О О
				- 1	О	2	\	/	1 2		0
				- 1	1	О		=	- 1	3	2
				0	1	0	/	\	О	1	2
3. Находим столбец координат образа вектора х:
{2А + АоВ)х=\				I I Х2				Xi + 2X2
		- 1	3 2		1 = 1			-Х1 + Зх2 + 2а;з
									Х2 + 2хз
Ответ. {2А + АоВ)х			= {xi	+ 2ж2,-xi + Зхг + 2хз,Х2 + 2хз}.

Условия ЗАДАЧ. Пусть в некотором базисе заданы отображе­ ния Ах ={xi -2хз,Х2,Х2 - х з } и Вх = {2хз,Х1,-Х2}. Найти коорди­ наты векторов Р{А, В)х.

1.	(l2 + 2B)x.	2.	(12_2В2)х.
3.	{В^ + 2А)х.	4.	(АВ + А2)х.
5.	(2А2 + З.В2)х.	6.	(ЗЛ + 2В2)х.
7.	{ВА-ьА'^)х.	8.	(В2 + зЛ2)х.
9.-	{АВ-\-В^)х.	10.	{ВА-АВ)х.

62		Гл. 2. Линейная	алгебра
Ответы.
1.	{xi -	2^2 Н- 4жз, 2x1 4- Х2, -2x2 + а:з}.
2.	{ x i +	2x2, Х2 - 4x3,2x1+ хз}.
3.	{2x1 -	2x2 - 4хз, 2x2 + 2хз, - x i	Н- 2x2 - 2хз}.

4.{xi -f 2хз, xi + Х2, xi + Х2 + хз}.

5.{2x1 — 10x2,2x2 + бхз, -3x1 + 2хз}.

6.{3x1 — 4x2 - бхз, 3x2 + 4хз, -2x1 + 3x2 - Зхз}.

7.{xi — 2хз, Xi + Х2 — 2хз, —Х2 + Хз}.

8.{3x1 — 8x2,3x2 + 2хз, -xi И- Зхз}.

9.{2хз,Х1 + 2хз,Х2}.

10.{-4x3, -2x3, -a:i - 2x2}.

2.8.Преобразование координат вектора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вектор х в базисе ei,e2,...,en имеет координаты {ai, «2? • • •, с^п}- Найти координаты вектора х в базисе

61,^2,... ,в^, где

e'l = CiiGi -h C2ie2 + . . . -h CnlCn,

^2 = ci2ei + C22e2 + ... + Cn2en,

e'n = CinCi 4- C2ne2 + . . . -f Cnn^n-

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Координаты вектора при переходе от базиса ei, е2, ... , вп к базису e'l, е2, ... , е'^ преобразуются по формуле

Хе^ = С-^Хе,

(1)

где Хе' и Хе — столбцы координат вектора х в базисах e'l, е з , . . . , ejj и ei, 62,..., е^, С — матрица перехода от базиса ei, 62,..., вп к базису

6 1 , 6 2 , . . . , 6 ^ .

1. Находим матрицу перехода С. Так как столбцы матрицы пе­ рехода от базиса 6i, 62,..., бп к базису 6^, б'з,..., б^^ — это столбцы координат векторов 6i, 6 3 , . . . , б^ в базисе ei, б2,..., бп, то матрица перехода имеет вид

/	С Ц	CI2	. . .	Cin	\
С =	С21	С22	• • .	С2п

\ Cnl Сп2	У

2.8. Преобразование координат вектора

63

2. Находим обратную матрицу С ^ и проверяем, что С ^С — Е.

3.По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе

-1 ? ^ 2 ? •

«2

Записываем ответ в виде Хе' = {а^, «2? • • • ? ^п}-

ПРИМЕР. Вектор х в базисе е1,е2,ез имеет координаты {1,2,3}. Найти координаты вектора х в базисе 61,62,63, где

e'l = е 1 + 2ез,

е'2 = 62 + 63, 63 = —б1 — б2 — 2бз.

РЕШЕНИЕ.

1.Находим матрицу перехода

10 - 1

С= 0 1 - 1

21 - 2

2.Находим обратную матрицу С ^ методом Гаусса:

Таким образом.

с - 1

Проверяем, что С ^С = Е.

3. По формуле (1) находим столбец координат вектора х в базисе

®1»в2,бз:
- 1	- 1	1
Хе/ = С-^Хе = I -2	0	1
-2	- 1	1

Ответ. Хе/ = {0,1,-1}.

64					Гл. 2. Линейная алгебра
Условия ЗАДАЧ. Найти координаты заданного вектора х в ба­
зисе 61,62,63.
1.	e i = e i + e 3 ,					2.	ei:= ei,
		е'2 =		2 6 1 + 6 2 + 6 3 ,			е',: = 2ei + 62,
		ез = е2,					e's-= 3ei + 2e2 + ез.
		Хе =		{3,~5,4}.			Хе = {1, 2,7}.
3.		6i	=	6i,		4.	е ^ = ei + 62 + ез,
		е'2	= б 1 + 2 б 2 ,				е',:= 2e2 + 2ез,
		бз =		б1 +262 + 363,			е'г = 3ез?
		Хе =		{6,2,0}.			Хе =	{2, 6,6}.
5.		6^ =		Зб1 + б2 + 5бз,		6.	ei = 2ei + 62 +Збз,
		б^ =		2б1 + 3б2 +	3бз,		е^ = 3ei + 2б2 + 4бз,
		бз =		2б1 + б2 +	4бз,		е^ =	2ei - Зб2 + бз.
		Хе	= { 0 , 5 , 5 } .				Хе = {9, 14,16}.
7.		6; =		2б1 + 6б2 + 5бз,		8.	6i =	Зб1 + 2б2 + Збз,
		62 =		5б1 + Зб2 -	2бз,		б2 =	-4б1 - Зб2 - 5ез,
		63 = 7б1 + 4б2 - Збз,					бз = 5б1 + б2 - бз,
		Хе = {1,0,-1}.					Хе = {-2,0,1}.
9.		6i = 2б1 + 3б2 + бз,				10. б; =б1 + 2б2 + 2бз,
		62 = 7б1 + 9б2 + 5бз,					б2 = 2ei + 62 - 2бз,
		63 = Збх + 4б2 + Збз,					бз = 2б1 - 2б2 + бз,
		Хе	={0,3,3}.				Хе	= { - 9 , 0 , 9 } .
Ответы.				l.Xe' = { 5 , - 1 , - 4 } .		2.Хе/ = {4,-12,7}. З.Хе/ = {5,1,0}.
4.Хе/={2,0,0}. 5.Хе/={-6,1,8}.						6.Хе/={2,3,-2}. 7. Хе/={0,-4,3}.
З.Хе/	= { 5 , 3 , - 1 } . 9. Хе/ = { 5 , - 4 , 6 } . 10. Хе/ = { 1 , 0 , - 1 } .

2.9. Преобразование матрицы оператора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти матрицу некоторого оператора А в базисе 6^, 62,..., 6^, где

е[ =	С ц б ! +	С21б2 +	. . . +	С„1бп,
б2 =	С12б1 +	С22б2 +	. . . +	С„2бп,
6^ =	Cin6i +	С2пб2 +	. . . +	Спп^п,