Гл а ва 10

РЯ Д Ы

При изучении темы РЯДЫ вы познакомитесь с понятиями схо­ димости, суммы и остатка ряда, научитесь исследовать сходимость числовых рядов, применяя теоремы сравнения и различные признаки сходимости. Вы познакомитесь с понятиями функционального и сте­ пенного рядов, научитесь находить их области сходимости и суммы. Вы узнаете, что такое ряд Тейлора, научитесь находить разложения функций в ряд Тейлора и применять полученные разложения в при­ ближенных вычислениях.

С помопдью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить пре­ делы, выполнить приближенные вычисления и проверить полученные вами результаты.

10.1. Понятие суммы ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму ряда

О О	/L
у	d ,

n=l

где A,p,q — целые числа.

ОО

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Суммой ряда Y1 ^п называется предел S после-

п=1

довательности его частичных сумм {5п}, т.е.

S - lim	5п,	(1)
П—¥00

где 5п = «1 + «2 -Ь ... -f an- 1. По условию задачи

п^ -\-pn-\- q

212	Гл.10. Ряды

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. n'^-\-pn-{-q = = {п -h а){п -j- а + к), где к — натуральное число, то члены после-

оо

довательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так как в

п=1

выражении 5„ = ai + аз -f . •. -f cin многие слагаемые взаимно уничто­ жаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

1

11? + рп + q к \п + а п-\- а-\- к

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3. Находим п-ю частичную сумму ряда:

Sn = 0,1 + CL2 + " • -^ От

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

S = lim Sn n->oo

и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо

Е "

, п2 4- 5n 4- 4 *

n = l

РЕШЕНИЕ.

1. Корни знаменателя п = — 1 и п = —4 различаются на целое число, т.е. п^ + 5гг + 4 = (п + 1)(п + 1 + 3). Следовательно, члены по-

сю

следовательности частичных сумм ряда ^ а^ легко найти, так как

п=1

в выражении Sn = ai Ч- а2 + ... + fln многие слагаемые взаимно уни­ чтожаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

72	24	24
77,2+ 5п+ 4	тг+1	п + 4

и выписываем несколько членов ряда:

24

24

24

24

24

24

^^^Т"У' ^'^Т"Т' ^^=^Т"У'

10.1. Понятие суммы рлда

213

24

24

24

24

24

24

24

24

24

24

(^п-Ъ —

п —74 г г - 17''

CLn-4 =

^

?

24

24

24

24

п-2

п + 1'

• n - 1

n + 2'

24

24

24

24

n

n + S

n - f l

n + 4

3. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим п-ю частич­

ную сумму ряда:

5'п = ^1 + ^2 + ... + an

=

24

24

24

24

24

24

^^

24

24

24

= -:г + — +

4

г

—

— = 26 -

п + 2 п + 3 n + 4

2

3

n - f2

п + З п + 4

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

S =

lim

5п =

Иш

(26

24

24

;-

24

\

= ^

1 = 26.

п^оо

п-^оо

у

п

+

2

п +

3

п +" ' >4•/'

Ответ.

5 = 26.

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы рядов.

1.

У ^ .

Е^ п^ — 5п + 6

^^^ п2 + 5п + 6

п=6

п=1

30

Е4п2 -

3.

^

^ 2 5 п 2

+ 5 п - 6 '

1 •

П = 1

п=1

5.

^

18

^ П 2 + Зп'

^

4п2 + 8п -

5'

п=1

п=1

7.

ОО

о

^ 9 п 2 - З п - 2 '

• ^ 1 6 п 2 - 8 п - 3 '

п=1

П = 1

о

^

8

.0.

Е

+ l)(2n + 3)(.2n + 5)"

•

^^п{п

+ 1){п + 2)'

'

;^j(2n

Ответы.

1. 5

= 2.

2. 5

=

1.

3. 5

=

2.

4. 5 =

2. 5. 5

= 11.

6 . 5 =

23.

7 . 5

=

1.

8.5

=

4.

9 . 5

= 2.

10.5 = 1.

214	Гл. 10. Ряды

10.2. Первая теорема сравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с неотрицат^ельными членами

оо

где an = f{n, ui{n),U2{n)^,..) и ui{n),U2{n),...		— функции	с извест­
ными наименьшими и наибольшими значениями		{например^ синус, ко­
синус и т,.п.), причем функция f монотонно	зависит от.		uiyU2,...

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Проверяем, что limn-).oo ^^ = О (если lim„_).oo а^ т^ О, то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2.Поскольку an > О, применяем первую теорему сравнения.

Пусть даны два ряда	с неотрицательными членами ^n=i			^^ ^
Если an < Ьп', то из	сходимости	ряда Y^^=\^n	следует	сходи­
мость ряда Х]п=1 ^»^*
Если an > Ьп, то из расходимости		ряда Yl^=i^n	следует	расхо­
димость ряда ^ ^ 1 а^п'

3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез (проверяем их в любом порядке).

I. Исходный ряд Y^^=i dn сходится. П. Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.

I. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ^^1 an сходится, нужно найти с х о д я щ и й с я ряд }_^n=i ^^ ^^~

кой, что

an < Ьп.

(1)

В качестве эталонного ряда Yl^:=i^n используем один из следующих рядов:

а) сходящийся гармонический ряд У2^-л — при р > 1;

10.2. Первая теорема сравнения	215
б) сходящийся геометрический ряд ] C ^ i ^Q^ ^Р^	О < ^ < 1
(с — некоторое положительное число).

Если существует сходящийся ряд Yl^=i ^п такой, что выполня­ ется неравенство (1), то по первой теореме сравнения исходный ряд Yl^=i ^п сходится, в противном случае, проверяем вторую гипотезу.

П. Чтобы установить, что исходный ряд Yl^=i^n	расходится, надо
найти р а с х о д я щ и й с я ряд Yl^=i ^п такой, что
0'п>Ьп-	(2)

В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем один из следующих рядов:

а) расходящийся гармонический ряд Y^^=i — при р < 1;

б) расходящийся геометрический ряд X^^i eg" при q > 1 (с — некоторое положительное число).

Если существует расходящийся ряд Y^'^=i ^п такой, что выполня­ ется неравенство (2), то по первой теореме сравнения исходный ряд S ^ i ^п расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. ДЛЯ оценки общего члена ряда используем неравен­ ства:

—1 < cosn < 1, —1 < sinn < 1,

7Г 7Г

1 < Inn < пГ (Vp > 0), -J < arctgn < — и т. п.

ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда

^n2(2 + sinn)'

n=l

^

^

РЕШЕНИЕ.

1. Имеем

lim —Г-— : г = О,

т.е. необходимое условие сходимости ряда выполнено.

216	Гл. 10. Рлды

2. Так как - 1 < sinn < 1 и 1 < 2 -f sinn < 3 при всех п > 1 и

^^^^' >0,

71^(2 -Ь sinn)

то можно применить первую теорему сравнения.

3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, мы должны установить справедливость одной из двух гипотез (проверяем в любом порядке).

I. Исходный ряд X^^i 0"п сходится.

Поскольку —1 < sinn < 1, имеем 1 < 2+sinn < 3, y/ri^ -\-1 < 2п^/^,

и, следовательно,
лЛ^з^Г!	2пЗ/2
n2(2 + sinn)	т?	п^/2*

Так как ряд

оог.

п=1

расходится как гармонический с р = 1/2 < 1, то гипотеза о сходи­ мости исходного ряда не подтвердилась.

Проверяем вторую гипотезу.

П. Исходный ряд Yl^=i ^п расходится.

Поскольку — 1 < sinn < 1, имеем 1 < 2 -h sinn < 3, л/п^ -f 1 >				vn^,
и, следовательно,
^	^ п З / 2 _		1	...
n2(2 + sinn) -		Зп2	Зп1/2-
Так как ряд
	, 3nV2
	n=l
расходится как гармонический с р = 1/2			< 1, то в силу неравенства
(3) по первой теореме сравнения расходится и исходный ряд.
у/п^	+ 2	расходится.
Ответ. Ряд ЕГ=1-^ТоТТТГ::^
n2(2-fsinn)