9.2. Криволинейные интегралы второго рода

207

9.2.Криволинейные интегралы второго рода

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить криволинейный интеграл

/ Р(ж, 2/, z) dx + Q(x, 2/, z) dy + R{x, y, z) dz

L

где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически

X =	x{t),
у = y{t),		ti<t< ^2,
z =	z{t).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл второго рода по кри­ вой L определяется формулой

/ Р(ж, г/, z) dx -Ь Q{x, у, z) dy + R{x, у, z) dz =

(1)

j[P{x{t)^),z{t))x\t)^-Q{x[t)^),z{t))y\t)

+ R^

ti

1. Вычисляем x'{t), y'{t) и z'[t).

2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записы­ ваем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L				M{xi,yi,zi)	и
^{х2,2/2, ^2) заданы в декартовых координатах, то ti				и ^2 определяем,
решая системы уравнений
XI = x ( t i ) ,	(	Х2	=x{t2),
2/1 = y{ti),	I	У2= 2/(^2),
Zl = Z{ti)]	[	Z2	=z{t2).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:

ГFi(a:,2/,z) = 0,

\F2{x,y,z)=0,

то ее необходимо параметризовать.

208	Гл. 9. Криволинейные интегралы

ПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интеграл

Гу

/ -3 dx — Зх dy -\- X dz

L

ПО части кривой L, заданной параметрически

X = 2 cos	t,
y = 2smt,	0 < t < ~ ,
z =	1-2cost-2smt.

	РЕШЕНИЕ.
	1.	Вычисляем: x'{t)	= —2sinf, y'{t)	= 2costH z\t) = 2sint-2cos 1
	2.	Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):
/		— dx — Sxdy + xdz	=
L	3
		7г/2
=		/ ~ sint(-2sint)	- 6cost(2cost) 4-2cost(2sint - 2cost) dt =
		0
				13
		2//3 dx — 3xdy + xdz = 2 —--тг.
		/
		L
	ПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл
			I {х — y)dx-\-	dy -\- zdz
			L

от точки М(2,0,4) до точки 7V(—2,0,4) {у > 0) по кривой L, образо­ ванной пересечением параболоида z = x^ +у'^ и плоскости z = 4,

РЕШЕНИЕ. В сечении получается окружность

^2 4- 2/2 = 4, 2 = 4.

9.2. Криволинейные интегралы второго рода

209

Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют вид

X = 2 cos t,

у = 2sm t,

z= A.

1.Вычисляем: x\t) = -2sint, y'{t) = 2cost и z'{t) = 0. Определяем ^i и ^2 из условий

2 = 2costi,		(	—2 = 2cost2,
0 =	2sinti,	I	0 =	2sint2,
4 =	4;	[ 4 =		4.

Учитывая, что у > О, получаем ti = О и ^2 = тг.

2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):

тг

I [х — y)dx-\- dy -\- zdz = / [(2cost - 2sint)(-2sint) + 2cost]c?t = 27г.

L

0

Ответ. / {x — y)dx-\- dy -\- zdz = 27Г.

L

Условия ЗАДАЧ. Вычислить криволинейные интегралы.

1.

/ ( , ^ -

.^) .X + 2уг dy -

.^ d.,

L -

паст.

.риеоП . = t,y

= t^

Z = t^

L

до точки

N{1,1,1).

от точки М{0,0,0)

2.

(2 — y)dx-\-xdy,

L

—

арка

циклоиды

х

=

t

— sint,

L

: l - c o s t

( 0 < t < 2 7 r ) .

3.

ydx

+ zdy-\-xdz,

L

—

первый виток

винтовой

линии

L

у = sint,

z — t.

•- cost,

4. / ( X

4- y)d. +

( . - y)dy,

L -

оппжпосгп.

(x -

1)^ +

(,

-

1 ) - 4 .

L

^	f	(x -{- y)dx		— (x — y)dy		_	9 r>
5.	/	-^^	:z	::	,	L —	окруэюностъ x^ -\- y^ = 1.
	J		x^ Л-у^

210

Гл. 9. Криволинейные интегралы

6.

/ (4а: -\- у) dx + {х -\- 4у) dy,

L — часть

параболы

у = х^

от

точки

L

до точки

N{—1,1).

М(1,1)

7.

/ 2xydx

+ х^ dy^

L — отрезок

прямой

от точки

М(0,0)

до

точки

L

N{1,1).

8.

у dx -{- X dy -\- {х -{- у -\- z) dz,

L — отрезок

прямой

от

точки

L

до точки

N{3,4., Б).

М(2,3,4)

L

и плоскости z = 0.

10.

/ ydx — xdy + zdz,

L — линия

пересечения

сферы х^+ ?/^+ 2:^ = 4

L

х^ -\- у^ = 7?

и конуса

(^ ^ 0).

Ответы. 1. 1/35.

2.

-27Г. 3. -тг.

4.0.

5.

-27г.

6 . - 2 .

7.1.

8. 33/2.

9. 47Г. 10.

- 47Г.