10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

237

сходится условно по признаку Лейбница. В точке X — 3 ряд

п=1

расходится.

Ответ. Область сходимости степенного ряда — [1,3).

Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимост^и степенных рядов.

п=1 п=1

3. Е ^ ^ .			^^	Е		'
п=1				п=1 ^
^ {	х	- 2)"		^		( х - 3 ) ^ - 1
^ ^ ( n		+ l)3^'	'	^ ^	(2пЗ + 3n)4^ •
n = l	^	'		n = l	^	^
со		у—		СХ)
n = l				n=l	^	^'
						2n+l
n=l	^	'		n~\	^	'

Ответы. 1. (-7,11). 2. (2,4). 3. ( - 7, - 3) . 4. [-2,1). 5. [-1,5).

6.[1,5]. 7. [-4, -2]. 8. [-5,1). 9. (-6, -2]. 10. (-oo, +oo).

10.11.Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида

Е

и указать область сходимост^и ряда к этой сумме.

238	Гл.10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом

I/WI < 1.

Если f{x) = 1, ряд расходится. Если f{x) = —1, ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости опреде­ ляется неравенствами —1 < f{x) < 1.

2.Делаем в исходном ряде замену f{x) = t, получим степенной

ряд

п=1

собластью сходимости [—1,1).

3.Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

оо	1^
^ Г	= ^ ,	\t\<l.	(2)
п=к

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

п=к п—к

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи­ мости, и используя формулу (2), получаем

оо ,п rt оо ^t к

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t=—1,

то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа).		Следовательно,
5( - 1)	= lim S(t).
6.	Вычисляем интеграл, делаем замену t на f{x)	и записываем

ответ: сумму ряда и область его сходимости.

10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

239

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид

Е

^^Jn + a)(n + b)'

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

		1
[п-^ а)[п-\-Ь)	\n-\-a	п^-Ь) Ь - а^

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо. л,

E sm X

п

п=1

Иуказать область сходимости ряда к этой сумме.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом I sinx| < 1.

В граничных точках при х = 7г/2 + 27тк ряд расходится, при х = = 37г/2 -h 27г/с ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех х ф т:/2 -^ 2'кк (А: = 0,±1,...).

2.Сделаем замену sin ж = i. Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости [—1,1).

3.Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

СХ)

-

п=1

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

оо ^	оо	.t
n = l	n = l	/о

240	Гл. 10. Ряды

5. Учитывал, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи­ мости, и используя формулу (4), получаем

У2-=	yZu'^-'du^	^^—du = -\n{l-t),	\t\<l.	(5)
^^1 ^	Jo „^1	Уо 1 - ^

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = —1, то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, фор­ мула (5) справедлива при всех t G [—1,1).

6. Заменяя t на sin ж, получаем при х ф -к12 + 27г/с

S{x)	= — In (1 — sin	х).
Ответ. S{x) = - l n ( l -	sinx), хф -KJI	+ 27гА;.

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимост^и к этим суммам.

6"х"

1.

п= 1

3.у^ (1 - 16а;4)"

п = 0

5.	^	2"
	^^{п	+ 1)х^--

°°on

7.У"^ п(п+1)х"'

п = 1 ^

'

- ^ (-1)"4"х2"

0

2п + 1 '

п = 1

°°	п+2
2 V	^

^п(гг4-1)*

п = 1 ^

^'

ооо п - 1

4.п=1УПХ"^ .

ООг)П„П+1

- (_1)п^2п+1

•	^	2п + 1	'
	п = 0
10^	J :	(-1)^-^Ж^^
^^'	^ ^	п(2п - 1)
	п = 1	^	^

Ответы.
1.	5= - 1п(1 - бж),	ж G [-1/6,1/6).
2.	S={x-x'^)ln{l-x)	+ x^, X G [ - 1 , 1 ] .