8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений

197

Условия ЗАДАЧ. Вычислить длины дуг заданных кривой.

1. g = ip^	0<(р<1.	2. g = cosip,	7Г
			О < (/? < —.
	7Г

3.	д = 2sirnp,		-^ <^ <'^-
5.	g = l-Vcosip,		0<(^<7г .
7.	^ =	l + sin(^,	- 7:<<^<7Г -
			2 - ^ - 2
9.	^ =	3sin(/?,	7Г
			О < V? <•-•.-.
			6

4.	^ =	1 — cos (^,	О < (^ < тг.
6.	^ = 6^^,		О < v? < 27Г.
^-	^ =	1 ~ sin(^,	77 — ^ -	"7Г-
	^	^ ' 2 - ^ -		2
10. д = 3cos(/?,			7Г
			О < v? < —.
10. ^ = 3cosv?,			О < v? <о—.

Ответы. 1. [\/2 4-ln(l-f	\/2)]/2.	2.	7г/2. 3. тг. 4. 2. 5. 2.
6. V5(e^''-1)/2. 7. 2. 8.	2. 9.	7г/2.	10. тг.
8.11, Вычисление	объемов

по площадям поперечных сечений

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, если известны площади его поперечных сечений.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ S = S{X) — площадь сечения тела плос­ костью, перпендикулярной к оси ОХ и пересекающей ее в точке с абсциссой ж, то объем части тела, заключенной между плоскостями X = Xi и X = а:2, определяется формулой

V = I S{x)dx.

(1)

XI

1.Находим S{x).

2.Подставляем S{x) в формулу (1) и вычисляем определенный интеграл.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если известны пло­ щади сечений плоскостями, перпендикулярными оси 0Y {S{y)) или оси OZ {S{z)).

198	Гл. 8. Определенный интеграл

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ объем тела, ограниченного поверхностями

РЕШЕНИЕ. ЕСЛИ S = S{z) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0Z и пересекающей ее в точке с аппликатой Z, то объем части тела, заключенной между плоскостями z = zi и Z = Z2y определяется формулой

V = f S{z)dz,

(2)

zi

1. Сечение заданного тела плоскостью 2: = const определяется не­ равенством

— -f—	< 1	,
16 9	-	196'

т.е. при \z\ < 14 является эллипсом

196x2 1962/2 16(196-2:2) 9(196-z2)

с полуосями

а=	4V196 -	z2	,	,	3^196" Z2
	—			Ь =	14
	14		'

Площадь этого эллипса равна

5 =:7гаЬ= ^ ( 1 9 6 - ^ 2 ) .

Таким образом, при О < z < 7

Siz) =

^il96-z').

2. Подставляем S{z) в формулу (2) и вычисляем определенный интеграл:

7

\3

V = ^ /(196 - ^2) dz = 777Г (ед. длины)^

о

Ответ. 777Г (ед. длины) .

		8.12. Вычисление объемов тел вращения						199
Условия ЗАДАЧ. Вычислить объемы тел, ограниченных								указан­
ными	поверхностлми.
1.	Z = 4^2 +9г/2,				Z = 6.
2.	Z = 9х'^ + 42/2,				z = 6.
3.	z = 2x2 + 82/2,				г = 4.
4.		?у2	2:2		z =	0,	z = 2.
5.	Ж	9	'2'	^	z =	0,	z = 3.
6. y + 2 / ^ - 3 z 2 = l,					z - O ,		z = 1.
7. ^2 + ^ _ 2 z 2 = . l ,					z = 0,		z = 1.
8.	^+С-.^ = 1,				z==0 ,		z = 2.

Ответы. 1. Зтг. 2. Зтг. 3. 27г. 4. 47г. 5. 87г. 6. бтг. 7. бтг.

8.427Г. 9. 87Г. 10. 507Г.

8.12.Вычисление объемов тел вращения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тела, образованного вращением област,и, ограниченной графиками функций у = /1(3:) и у = /2(0;) и, возмоэюно, прямыми X = а и х = Ь, вокруг оси ОХ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми у = и{х) и у = v{x) и прямыми х = а, х = Ь, где и{х) < v{x), т.е. области, определяемой системой неравенств

Га < ж < 6,

1 и{х) <у < v{x),

200	Гл. 8. Определенный интеграл
вычисляется по формуле
	У = 7г [	(t;(x)2 - и{х)^) dx.	(1)
1.	Определяем область D.	Если неравенства, определяюпще об­

ласть Z), неизвестны, т.е. неизвестны а и b и/или неизвестно, какая

из функций fi{x)		и f2{x)	больше другой на отрезке			[а,6], то выпол­
няем следующие операции.
а) находим а и b как абсциссы точек пересечения графиков функ­
ций fi{x)	и /2(2:), т.е. решаем уравнение
			fi{x)	=	/2 (ж);
б) исследуем знак разности fi{x)					— /2(3:) на [а, Ь]. Для этого доста­
точно вычислить значение fi{x)				— f2{x) в какой-нибудь точке из (а, Ь).
Если оно положительно, то fi{x)					> /2(2^) и, следовательно, и{х)		=
= /2(3:) и	v{x) =	fi{x).	Если оно отрицательно, то			/i(a;) < /2(2:)	и,
следовательно, и{х) = fi{x) и v{x)					= /2(2^)-
2. Вычисляем объем по формуле (1).
Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача, если тело образовано вращением области вокруг оси ОУ или оси 0Z.

П Р И М Е Р . Вычислить объем тела, образованного вращением об­ ласти, ограниченной графиками функций

у = х^ у = \/ж,

вокруг оси ох.

РЕШЕНИЕ.

1.Определяем область D :

а) находим абсциссы аиЬ точек пересечения графиков. Для этого решаем уравнение

х^ =	у/х.
Получаем
а = О,	6 = 1;

б) на отрезке [0,1] -Jx > х^. Следовательно, и{х)=х^ и у{х) = л/х.

8.12. Вычисление объемов тел вращения

201

2. Вычисляем объем по формуле (1):

У =

7Г /

[(V^)2

-

[x^f]

dx

= 7T f

{х-

X^) dx

= бтг

Jo

Jo

Ti'

Ответ.

57г/14 (ед. длины) .

Условия

ЗАДАЧ. Вычислить

объемы теЛу образованных

враще­

нием вокруг

оси ОХ

областей,

ограниченных

графиками

заданных

функций.

1.

2/ =

-а:2 + 1,

2/ =

0.

2.

?/ =

sin (7гж/2),

у = X.

3.

2/ =

х2,

У = у/Х.

4.

у =

a:^,

?/ = 2а;.

5.

у = cos ж,

у = sin ж,

ж = 0

(0 < ж < 7г/4).

6.

у = sin^ ж,

2/ = 0,

а; = 7г/2

(0<ж<7г/2) .

7.

2/ =

е^,

2/ =

1,

а:=:1.

8.

у =

\пх,

у =

о,

а: =

е.

9.

2

2/ =

1,

а; =

1.

X

10.

у = cos^ X,

2/ = 0

(-7г/2 < X < 7г/2).

Ответы.

1.

1б7г/15.

2.

(бтг^ -

48)/(б7г).

3. Зтг/Ю.

4. 1б7г/15.

5. 7г2/4 -

1/2.

6.

37rVl6.

7.

7г(е2

-

4е +

5)/2.

8.

7г(е

- 2).

9. 7г(3-41п2).

10. 37г78.