13.3. Интеграл по сферической поверхности				339
I.	{xy-\-z'^)da,	Е=	l{x,y,z) :	х2 +2/2 = 1,
				2 = 0, z =	l
}. Л	^9-x^-y^da,	Е -	I (х, у, z) :	х'^ + у^ = 1,
				Z = о, z = l

х'^ + у'^ = 2, 1 0 . / / / Z л- х'^ + у"^ da, Е = < {х, у, z) : 2 = 0, z = 2

Ответы.	1.	0. 2. 0. 3. 27г. 4. 0. 5. Атг. 6. 127г. 7. Зтг.
27г/3. 9.	47Г.	10. 327Г . (А/2 - 1)/3 .

13.3. Интеграл по сферической поверхности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный инт^еграл

/ / f{x,y,z)da,

где Т, — верхняя полусфера

х'^-{-у'^+ z'^ = г^,

z>0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор­ динаты

^ж = gcosipsmO, у = ^siiK^sin^,

Z = gcosO.

Вэтих координатах поверхность задается условиями

д = г,

Е = < {д,в,^р): 0 < ^ < 7 г / 2 ,

О < (^ < 27Г

340		Гл. 13. Поверхностные интегралы
2.	Так как	da = г^ sinOdedip, имеем
		27Г	7г/2
/ / f{x^y',z)d(7		= r^ d(f	f {г COS if sine у Г simp sinO, Г COS 9) sine de.
E		0	0
3.	Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ поверхностный интеграл

/А

S

где Е — верхняя полусфера

х^ + 2/^ + г^ = 9, Z > 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор­ динаты

X = ^cos(^sin^, у = ^sin(^sin^,

Z = QCOSO.

в этих координатах: поверхность задается условиями

i : = < {д,в,^):	0 < ^ < 7 г / 2 ,
	О < (^ < 27Г
2. Так как d сг = 9 sin ^ d^ d(^ и	/(ж, ?/) = ж^ + т/^ = 9 sin^ в, имеем

27Г 7г/2

Пх'^ + у^) da =^ I dip / 9sin^ (9-98^(9^(9.

	Е	0	0
3. Вычисляем повторный интеграл:
27Г	7Г/2			7г/2
/ d ( ^	А 9sin^ (9-9sin<9(i6> =-1627Г			M l - cos2<9) dcos(9 = ЮЗтг.
0	0			0

Ответ.

E

13.3. Интеграл по сферической поверхности		341
Условия ЗАДАЧ. Вычислить	поверхностные инт,егралы.
1. / / xdcT^	ж^ + 2/^ + ^2 = 7,	Z > 0}.

2. jj.da,

Е

3.{2x-by)da,

Е

Е

5.ffz^da,

Е

6.Ijy/^^^da,

Е

7.ff{x^-\-y^-2z)da,

Е

	ж2 + 2/2 + z^ = 4,	Z > 0}.
	ж^ -f 2/^ + 2:2 = 5,	^ > Q}.
	x'^ + y^ + z'^ =2,	z> 0}.
	a;2-h2/2 + z2 = 1,	;г>0}.
Е =	x2 +2/^4-^2 = 1,	2 > 0 } .
Е =	:2 + у2 + -.2 ^ 9^	^ > Q}^

8.

ff{x^-}-y^-2)da,

Е =

x'^ + y'^ + z'^ =3,

z>

0}.

Е

9.

ff{21x-21y

+ z)da,

Е

=

ж2 + 2/2 + ^2 = 10,

Z>

0}.

Е

10. f f {ху л-z'^) da,

Е

=

a;2 + 2/^-f2;2 =

1,

z >

0}.

Ответы.

1.

0.

2.

87Г.

3.

0.

4.

207г/3.

5.

27г/5.

6.

7г2/2.

7. 547Г.

8. 0.

9.

ЮУДОТГ.

10. 27г/3.

Г л а ва 14 ТЕОРИЯ ПОЛЯ

При изучении темы ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ) вы познакомитесь с понятиями векторного поля, векторных линий, потока векторного поля через поверхность, циркуляции векторного поля, дивергенции и ротора векторного поля. Вы научитесь вычис­ лять поток векторного поля как поверхностный интеграл, а также использовать формулу Остроградского для вычисления потока через замкнутую поверхность. Вы научитесь вычислять работу векторного поля как криволинейный интеграл второго рода, а также применять формулу Стокса для вычисления циркуляции.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ­ водные, единичный нормальный вектор поверхности, дивергенцию и ротор векторного поля, определенные и повторные интегралы, выпол­ нить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

14.1. Векторные линии

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти векторные линии векторных полей

а = P{x,y)i + Q{x,y)j,

или

а = P{x^z)i-{-R{x,z)k,

или

a = Q{y,z)j-\-R{y,z)k.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Запишем дифференциальные уравнения векторных линий

	dx	dy	при Z = с .
	Р{х,у)	Q{x,y)

	14.1. Векторные линии			343
	dx	dz		_,
	Р{х,у)	R{x,y,z при		у = С,
	dy	dz	при	X = С.
	Q{x,y)	R{x,y,z)

Мы учли, что в первом случае dz = О, во втором случае dy = О и в третьем случае dx = 0^ поскольку равна нулю соответствующая координата векторного поля.

2. Решая соответствующее дифференциальное уравнение, полу­ чим, что векторные линии (в пространстве) определяются системами уравнении

F{x,y) = Cu

fF ( a : , z ) - C i ,

\у = С2.

или

F{y,z)^Cu

Х= С2.

ПРИМЕР. Найти векторные линии векторного поля

а= 9zj — 4:ук.

РЕШЕНИЕ.

1.Так как первая координата поля Р(х, ?/, z) = 0^ то dx = О и, сле­ довательно, X ~ С. Поэтому запишем дифференциальное уравнение векторных линий в виде:

dy	dz	при X = С.
-— = —-—
9z	Ay	^

2. Решая дифференциальное уравнение, получим

Ответ. Векторные линии определяются системой уравнений

Х = С2.