1.5. Компланарность векторов

17

Условия ЗАДАЧ. Вычислить площадь параллелограмма, постро­ енного на векторах а иЪ {pq — угол меоюду векторами р и q).

1.	a = p + 3g,		b^=2p-q,	|р| =	2,	\q\ = I,		р £ = 7 г / 6 .
2.	a = 2p-\-q,		b = p - 3q,	\p\ = 2,		|^ =	2,	р£	= 7г/А.
3.	a = p-2q,		b^^p + Sq,	\p\ = 1,		\q\ = 2,		p |	=	7г/2.
4.	a=:3p-5g*,		b = p~\-2q,	|p| =	2,	|gl =	1,		pq=bn/6.
5.	a=p-q,		b = 2p4-2g,	|p1 =	1,	|gl =	6,	pg	=	37г/4.
6.	a=p	+ 2q,	b = 3p-2q,	|p| =	3,	|gl =	2,	pq^zn/S
7.	a = 2p-2q,		b^ = p + q,	\p\ = 2,		|gl =	3,	pg	=	7г/2
8.	a = p-\-q,		b = p-iq,	|p| =	7,	|g| =	4,	pg	=	7г/4
9.	a - 4 p - 4 g ,		b = p + 3g,	|pl =	2,	|g1 =	1,	p |	=	тг/б
10. a = p - b g ,			b = 2p-q,	\p\ = 2,		\q\ = 3,		pq	=7г/3
Ответы.		1. 5 = 7.	2. 5 = 14i/2.	3. 5 = 10. 4. 5 =				11.	5. 5 = 15\/2.

6.5 = 24\/3. 7. 5 = 24. 8. 5 = 70v/2. 9. S = 16. 10. 5 = 9\/3.

1.5.Компланарность векторов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Компланарны ли векторы а = {а1,а2,аз},

Ь = {61,62,^3} txc = {с1,С2,сз}?

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ДЛЯ ТОГО чтобы три йектора были компланарны

(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необхо­ димо и достаточно, чтобы их смешанное произведение (а,Ь,с) было равно нулю.

1. Смешанное произведение векторов выражается через их коор­ динаты формулой

СЦ	^2	^3
(а, 6, с) = bi	62	Ьз
Cl	С2	Сз

2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то век­ торы некомпланарны.

ПРИМЕР. Компланарны ли векторы а = {7,4,6}, Ь = {2,1,1} и с = {19,11,17}?

18	Гл. 1. Аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем смешанное произведение векторов:

(а, 6, с) =	7	4	6
	2	1	1 = 0.
	19	11	17

2. Так как (а, Ь, с*) = О, векторы а, Ь и с компланарны.

Ответ. Векторы а, 6 и с компланарны.

Условия ЗАДАЧ. Компланарны ли векторы а,Ь и с7

1.	а = {1,3,0},			6 =	{-1,0,-1},	с = {1,2,1}.
2.	5	=	{3,2,1},	6 =	{5,5,5},	с = { 0 , - 1 , - 2 } .
3.	а =		{0,6,1},	6 =	{0,2,0},	с = {1,1,1}.
4.	а =		{4,1,-2},	6 =	{3,2,1},	с = {5,5,5}.
5.	а =		{2,5,0},	6 =	{2,-1,2},	с = {1,1,1}.
6.	а = {1,0,-1},			6 = {-2,-1,0},		с = {3,1, - 1} .
7.	а = {4,3,1},			6 =	{5,1,2},	с = { 2 , 1 , - 1 } .
8.	а = {-2,4,3},			Ь=	{4,7,5},	с = { 2 , 0 , - 1 } .
9.	а =		{2,5,8},	6 =	{ 1 , - 3 , - 7 } ,	с = {0,5,10}.
10. а = {1,5,1},				6 =	{1,7,1},	с = {2,2,1}.
Ответы. 1. Нет.				2. Да. 3. Нет.		4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет.

8.Да. 9. Да. 10. Нет.

1.6.Объем и высота тетраэдра

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить объем тетраэдра с верши­ нами в точках Ai{xi,у 1,zi), Аз(жз,2/2,22), Аз{хз,уз,2з), ^4(^4,2/4,^4) и его высоту, опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Из вершины Ai	проведем векторы A\A2 =		{x2—xi,y2—yi,Z2~zi},
Л1Л3 = {а;з-Х1,2/3-2/1,23-zi} и			AiA4-{x4-xi,y4-yi,Z4-zi}.
В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произве­
дения имеем
К . =	1 ,,	1		(1)
	^ • V„n. =	^ 1(^1^2,^1^3,^1^4)1,

Оо

	1.6. Объем и высота тетраэдра	19
где FT. И УПГ	объемы тетраэдра и параллелепипеда,	построенных
на векторах Л1Л2, AiAs и А1А4)
С другой	стороны,

(2)

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения

SAABC	=	^\[AiA2,AiA3]l
Сравнивал формулы (1) и (2), получаем
h =		1(^1^2, Ai Аз, AiA4)|					(3)
		|[AiA2,AiA3]|
SAA1A2A3
2. Вычисляем смешанное произведение:
		Х2 -XI	2/2 -	2/1	Z2	-	Zi
(AiA2,AiA3,AiA4)	=	хъ -XI	Уз-	2/1	Z3	-	zi
		Х4 -Xi	У4-	2/1	Z4	-	Zi

инаходим объем тетраэдра по формуле (1).

3.Вычисляем координаты векторного произведения:

[AiA2,AiA3] =			i		J			к		zzz
			Х2 ~	Xi	2/2 -		2/1	Z2~	zx
			Хз -	XI	2/3 -		2/1	2:3 -	zi
Л 2/2 -	2/1	Z2-	Zi	?	X2	— X\		Z2— Zi		-xx	У2 - 2/1
										X2 -
1 2/3 -	2/1	Z3 -	zi		X3	-	xi	Z3-	zx	) Х3 --xx	2/3 - 2/1

иего модуль.

4.Находим высоту h по формуле (3).

П Р И М Е Р .	ВЫЧИСЛИТЬ объем тетраэдра с вершинами A i ( 2 , 3 , l ) ,
^ 2 ( 4 , 1 , - 2 ) ,	Аз(6, 3, 7) и А 4 ( - 5 , - 4 , 8 ) и его высоту, опущенную из

вершины А4 на грань А1А2А3.

Р Е Ш Е Н И Е .

1. Из вершины Ах проведем векторы А1А2 = {2, —2, —3}, АхАз = {4,0,6} и А т = { - 7 , - 7 , 7 } .

20	Гл. 1. Аналитическая геометрия

2. Вычисляем смешанное произведение:

-2

{AiA2,AiA3,AiA4) О

-7

= 2 • 42 + 2 • 70 + (-3) • (-28) = 308 и находим объем тетраэдра по формуле (1)

1 3

Ут = 7 * ^^^ (ед.длины) . 6

3. Вычисляем координаты векторного произведения:

г	j	к	= - 1 2 ? - 24J+ 8^ = {-12, -24,8}
[AiA2,AiA3] = 2	- 2	- 3
4	0	6
и его модуль
[AU2,AiA3]		= ^(-12)2 + (-24)2 + 82 28.

4. Находим высоту h по формуле (3):

.	1(^1^2,^1 Аз, ^1^4)1			308 ,^
h — ——		—	,,—— = —— = 11 ед.длины.
	\[А^А^,АгАз]\			28
Ответ. Vr, =	-—	(ед.длины)	,	h = 11 ед.длины.
	о

Условия ЗАДАЧ. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках Ai, А2, A3, А4 и его высоту^ опущенную из вершины А^ на грань А1А2А3.

	Ai(2,4,7),	>i2(3,3,2),	^3(0,1,2),	А4(-3,7,-2).
	Ai(-2,4,8),	^2(4,-1,2),	Аз(-8,7,10),	А4(-3,4,-2).
	Ai(6,l,3),	^ 2 ( 6 , - 2 , - 3 ) ,	^з(2,2,0),	Л4(-5,1,0).
	Ai(0,-1,2), Л2(-3,3,-4),		Аз(-9,-5,0),	Л4(-8,-5,4).
	Ai(0,-4,3),	Л2(-5,1,-2),	^з(4,7,-2),	А4(-9,7,8).
6.	Ai(2,l,l),	^2(0,5,7),	Лз(3, - 3, - 7),	Л4(1,8,5).
7.	Ai(4,l, - 1),	^2(1,4,-1),	^з(0,1,3),	А4(-2,0,0).
8.	Ai(5,2,l),	^2(4,5,4),	Аз(8,3,-3),	А4(-7,12,-4).
9.	Ai(0,2,-2),	Л2(1,9,3),	Лз(6, - 6, - 2),	^4(3,-2,8).
10. Ai(12,2,3),		A2(-7,-5,0),	А з ( - 4 , - 8 , - 5 ) ,	А4(-4,0,-3).