11.3. Однородные уравнения

255

11.3. Однородные уравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти интегральные кривые однородного дифференциального уравнения первого порядка, т.е. дифференциаль­ ного уравнения вида

		P{x,y)dx + Q{x,y)dy		= 0,	(1)
где	Р{х,у) и Q{x,y)	— однородные	функции одинакового		порядка,
т.е.	P{tx,ty)=t''p[x,y)	и Q{tx,ty)	=	f'Qix^y).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Преобразуем уравнение (1) к виду

»'	= / (	! ) .	(!•)
2. Делаем подстановку у{х)	= х z{x), где z{x)		— новая неизвестная
функция. Тогда у' = z -\- х z' и уравнение (1') приводится к виду
dz
Т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.
Заметим, что подстановку	у{х)	~ xz{x) можно делать сразу в
уравнении (1), не приводя его к виду (1').
3. Разделяем переменные в области, где f{z)			— z ^ 0:
dz		dx
f{z)-z		X

4. Интегрируем полученное уравнение с разделенными перемен­ ными и делаем замену z{x) = у{х)/х. Записываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1.Если Z =^ ZQ — корень уравнения f{z) — z = О, то решением уравнения (1) будет также у = ZQX.

2.Интегральные кривые однородного уравнения можно искать и

вполярных координатах.

ПРИМЕР. Найти интегральные кривые дифференциального урав­ нения

, х^ + 2ху — 5у'^ 2х'^ — Qxy

256	Гл. 11. Дифференциальные уравнения

РЕШЕНИЕ.

1. Преобразуем заданное уравнение к виду

1 4 - 2 ^ - 5 &

2 - 6 -

(мы разделили числитель и знаменатель правой части заданного урав­ нения на ж^).

2. Делаем подстановку у = xz{x)^ где z{x) — новая неизвестная функция. Тогда у' = z -{- xz' и уравнение приводится к виду

,	1 + 22	-	5^2	,
zx-^z	= — - —
	2-62;

т.е. к уравнению с разделяющимися переменными. В результате простых преобразований получаем

dz	1 + z^
dx X	•= 2 - 6z

3. Разделяем переменные {1 ~{- z^ ^ О и х у^ 0):

2 - 6z ,	dx
az =	— .
l-fz2	X
4. Интегрируя, получаем

2arctg z - 31n(l -f z^) = In \x\ + C.

Заменяя z на y/x., получаем

2arctg ~ -	31n (1 4- ^ I - In \x\ = C.
X	\	X^ J

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением

X \Х\^

при всевозможных значениях С.

11.4. Линейные уравнения l-zo порядка

257

Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциаль­ ных уравнений.

X X

4. X cos — dy -\- (х - у cos —) dx = 0. 5. (ж^ -f 2ху) dx -\- ху dy = 0.

	X	\	X/
6.	xy'ln f — j =ж 4-2/1п ( — 1 .				7. 2/б^а: + ( 2 у ^		— ж)б?г/= 0.
8.	{Ау'^+х'^)у'	= XT/.			9.xi/'sin f-•	j-bx = ysin f - j .
10.	xy + y^ = (2^2 + Ж2/) y'.
Ответы.
1. e-y/^+ln|a:| = a				2.	же^^/^^С.
3.	e^/y + lnlxl = a			4.	Inlxl+sin^	= a
					X
5.	1п|ж + 2/| +	— ^	= C	6.	I n x - ^ f l n ^ - l )		= a
7. у | + 1пы = а				8. 1 п ы ^ ^ + а

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Решить задачу Коши для		уравнения
у'Л-р{х)у	= q{x)	(1)
с начальным условием	= 2/0.	(1')
у{хо)

ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1-й способ.
1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:
у'+р{х)у = 0.	(2)

258	Гл. 11. Дифференциальные уравнение

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (2)

у = С ехр Llpix)dx\.

(3)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая С неизвестной функцией ж, т.е. полагая С = С{х)\

б) подставляем в уравнение (1) у и у'^ определяемые из соотноше­ ния (3), где С = С{х). Из полученного дифференциального уравнения

определяем функцию С{х).
4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения	(1)
получаем в виде
у — С[х) ехр {— 1 р{х) dx >.	(3')

Здесь С{х) содержит произвольную постоянную Со.

5. Используя начальные условия (1'), находим значение Со и по­ лучаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у — ^{х).

2-й способ.

1.	Ищем решение уравнения (1) в виде
	у = u{x)v{x),	(4)
где и 11 V — неизвестные функции х.
2.	Уравнение (1) принимает вид
	u'v -Ь uv' + p{x)uv = q{x).	(5)

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а урав­ нение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало

множество решений у.
Пусть одна из функций (например, и{х))	удовлетворяет уравне­
нию
и'-\-р{х)и = 0.	(6)

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка	259
Тогда уравнение (5) примет вид
v'u = q[x).	(7)

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим li, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем и[х) в уравнение (7) и решаем его относительно v. 5. Записываем общее решение уравнения в виде у{х) = u{x)v{x).

6. Используя начальные условия (1'), получаем решение постав­ ленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у — (f{x).

ПРИМЕР. Найти решение задачи Коши для уравнения

X Х^

с начальным условием

2/(1)-1 .

РЕШЕНИЕ.

1-й способ.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

2/' - ~ 2/ = 0.

X

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2.Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

у= Сх.

3.Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

у ^ С{х)х,

где С{х) — неизвестная функция х\ б) подставляя в уравнение (8)

у = С{х)х и у' = С\х)х + С{х),

260	Гл. 11. Дифференциальные уравнения

получаем дифференциальное уравнение относительно С{х)

С\х)х = - ^ , х^

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные

dC = — г ^'^ х-^

и интегрируя, получаем

С(х) = ^ + Со,

где Со — произвольная постоянная.

4.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) имеет вид

5.Используя начальное условие у{1) = 1, получаем

находим Со = О и подставляем в общее решение (9).

Ответ, у = 1/х.

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (8) в виде

у =	u{x)v{x),
где и и V — неизвестные функции х.
2. Уравнение (8) принимает вид
u'v + uv'	1UV =	2Г-.	(10)
	X	Х^

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а урав­ нение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

11.4. Линейные уравнения l-zo порядка	261
Пусть одна из функций (например, и{х)) удовлетворяет	уравне­
нию
и' -^и = 0.	(11)
X
Тогда уравнение (10) принимает вид
v'u^-\.	(12)
х^

Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим

и{х) — Ах,

где А — произвольная постоянная {А ф О, чтобы не сужать множест­ во решений).

4. Подставляем и{х) в уравнение (12) и решаем его относитель­ но v\

	,_	Jl_	_ JL_
		Ах^	Ах'^	'
где В — произвольная постоянная.
5.	Записываем обш;ее решение уравнения (8) в виде
	у{х)	— u{x)v{x)	= —h Сж,
			X
где С = АВ — произвольная постоянная.
6.	Используя начальное условие у{1) = 1, находим С = 0.

Ответ, у = 1/х.

Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коти для дифференци­ альных уравнений.

1.	Х2/' + у - е ^ = 0 ,		2/(0) = 1.
2.	y'-ytgx=	,	2/(0)=0.
3.	у' cos^x^-y	cos ж	у ( 0 ) = 0 .
		= igx,
	о2