102	Гл. 4. Дифференцирование

4.3. Уравнение касательной и нормали

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нор­ мали к кривой у = f{x) в т.очке с абсциссой а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция f{x) в точке а имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

у = f{a) + f'{a){x - а).

(1)

Если f'{a) = оо, то уравнение касательной имеет вид х = а.

Если /'(а) 7^ О, то уравнение нормали имеет вид

y^f{a)-j^^{x-a).

(2)

Если /'(а) = О, то уравнение нормали имеет вид х = а. 1. Находим значение /(а).

2. Находим производную f'{a).

3. Подставляя найденные значения /(а) и f'{a) в (1) и (2), полу­ чаем уравнения касательной и нормали.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

16

У = 6 V ^ - ^ V^

в точке с абсциссой а = 1.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим /(1) = 2/3.

2. Находим производную /'(1) =2/3. Так как /'(1) т^ О и /'(1) / о о ,

то воспользуемся уравнениями (1) и (2).
3. Подставляя найденные значения /(а)				= 2/3 и /'(а) = 2/3 в (1)
и (2), получаем уравнения касательной и нормали:
2	2/	-.4	2	3 .	^,
у = —I—(х —1),			V =	(х — 1 .
^ 3	3^	^ '	^ 3 2	^	^
Ответ. Уравнение касательной:			2х — Sy = 0. Уравнение нормали:
9ж + б2/ - 13 = 0.

4.4. Приблиэюенпые вычисления с помощью дифференциала

103

Условия ЗАДАЧ. Составить

уравнения

касательной

и нормали

к графику функции у = f{x)

в точке

с абсциссой а.

1.

у = X — х^^

а =

1.

2.

у — х^-\-X-\-1^

а = —1.

3.

2/= х^ + ж,

а =

1.

4.

у = А/Х — 2,

а = 4.

Ъ.у

= х'^ + \ ^ ,

а =

1.

6.

2/=

\ / х 2 - 9 ,

а = -27.

7.

2/ = — t x ^ ,

а = 9.

8.

2/ = 3 2 V ^ - x ,

а = 16.

22- v^^

а~1.

ж^ - 2ж 4- 2

9.

?/ =

а: - x - l ,

10.2/ =

^5

'

а = 2.

Ответы.

1. а: + 2/-1 = 0,

2;-2/-1 = 0.

2. х + у = О,

ж - у - 2 = 0.

3.

4ж - 2/ - 2 = О,

ж + 4у - 9 = 0.

4.

ж -

4^/ - 4 = О,

4ж + т/ - 16 =

0.

5.

7Х-22/-3 = О,

2ж+7?/-16 = 0.

6. 2а:+92/+54 = О,

9х-22/+243 = 0.

7.

2а: -

Зу -

33 =

О,

Зх + 2^/ - 17 =

0. 8.

?/ - 48 =

О,

ж - 16 =

0.

9. х - 2 / - 2

= 0,

ж + у = 0.

10. 27/-1 = 0,

ж - 2 = 0.

4.4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислит^ь приближенно с помощью диф­ ференциала значение функции у = f{x) в точке х = а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ приращение Ах = х — а аргумента х мало

по абсолютной величине, то
f{x) = fia	+ Ax)^f{a)	+ f'{a)Ax.	(1)
1. Выбираем точку а, ближайшую к х и такую, чтобы легко вы­
числялись значения /(а) и	f'[a).
2. Вычисляем Да: = х	— а^ f{a) и	f'{a).
3. Цо формуле (1) вычисляем f{x).
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ приближенно		с помощью	дифференциала
значение функции у = ух^	-Ь 5 в точке х = 1, 97.

104	Гл. 4. Дифференцирование

РЕШЕНИЕ.

1.Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения /(а) и /'(а), — это точка а = 2.

2.Вычисляем:

Дж = х - а = 1,97 - 2 = -0,03,

			f{a)	= f{2) = 3,					f\x)		= -j=^,			Па)^у'{2)		=	\.
	3. По формуле (1) имеем
							/(1,97) « 3 + ~ ( - 0 , 0 3 )							= 2,98.
		Ответ. /(1,97)					«2,98 .
		Условия ЗАДАЧ. Вычислить приблиэюенно с помощью дифферен­
циала значение					функции у = f{x)							в точке		х — а.
1.		y = ж^		ж = 2,001.								2.	y = ^Дx^,			ж = 0,1
3.		у =	V ^ ,		ж =		1,02.					4.	2/ = х^, х = 2,999.
5.		2/ =	^ ,		X =		1,03.					6.	2/ = у г ,		X = 3,996.
7.		2/ =	VI + sinx,					х = 0,02.				8.	у — у/2х + cosx, х = 0,01.
9.		2/=	у 2 х - s i n — ,						х = 1,03.			10. у = л/4х -f 1,				х =	1,97.
		Ответы.		1.	32,08.			2.	0,96.		3.	1,03.	4.	26,073.	5.	1,01.	6.	1,999.
7.	1,01.		8.	1,01.		9.		1,02.		10.	2,98.

4.5. Логарифмическое дифференцирование

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции вида

у = uiixy^""^.. .Un(x)''"^^^i(;i(x). ..Wm{x),

4.5. Логарифмическое дифференцирование

105

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Логарифм данной функции имеет вид

In г/ =	vi{x)liiui{x)	-f ... + Vn{x)lnun{x)		-{-lnwi{x)	4-... -\-ln.Wm{x).
2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем
У	\	^1 /	V	Un J	Wi	Wn
Поэтому

3. Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем ответ.

ПРИМЕР. Найти производную функции у = х^ ж^.

РЕШЕНИЕ.

1. Логарифм данной функции имеет вид

In 2/ = 1п{х^'х^) = e'^lnx + Olnx.

2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

у XX

Поэтому

2 / ' = 2 / ( е ^ 1 п ж + — ^ 1 ,

3. Подставляя в последнее равенство выражение для г/, получаем

ответ.
Ответ,	у' = х^	х^	I е^ 1пх +
	—— /Y»6	or»''	/ э Х
Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных функций.
1. 2/=	(sina:)^.		2. 2/= х ^ З ^ .