1.7. Расстояние от точки до плоскости						21
Ответы.
l.V		= 70/3,		h = 2ч/14.	2.	У =	56/3,	/i = 4.
3.	У = 43/2,			h = 43\/Т05/105.	4.	У = 80/3,		h =	i.
b.V		= 190,		h = 2 v ^ .	6.	У =	15,	h = SVE.
7.	У =		12,	/i = 2i/3.	8.	У =	140/3,	/i =	4i/l4.
9.	У =		250/3,	/г = 5\/2.	10.	У =	338/3,	/i =	V ^ .

1.7- Расстояние от точки до плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти расстояние от точки Мо(жо, VO^ZQ) до плоскости, проходящей через точки Mi(a:i,2/i,zi), М2{х2,У2у^2) и

Мз(а;з,2/з,^з)-

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с верпганами Мо(а;о,2/о,^о), Mi{xi,yi,zi), М2(х2,2/2,^2) и Мз(жз,2/з?^з)? опущенную из вершины Мо(а;о, VO^ZQ) на грань М1М2М3 (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.

Расстояние d от точки Мо{хо,уо,го) до плоскости равно длине проекции вектора MIMQ на нормальный вектор плоскости п, т.е.

(n,MiMo)|	(1)
d = I nP^MiMol = '^ ' .' "^' .

\n\

Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам М1М2 и М1М3, его можно найти как их векторное произведение:

п= [MiM2,MiM3].

1.Находим координаты векторов:

М1М2 = {x2-xi,y2-yi,Z2-zi},	МгМг =			{x3-xi,ys-yi,Z3-zi},
Ml Mo = {хо -xi.yo -2/1,2:0 -	zi},
и нормального вектора плоскости:
п = [MiM2,MiM3] =	г	j		к
	Х2 -XI	2/2 -	2/1	^2 -	Zi
	хз -XI	2/3 -	2/1	^3 -	2^1

2. Вычисляем расстояние d от точки Мо(жо,2/05^о) ДО плоскости по формуле (1).

ПРИМЕР. Найти расстояние от точки Мо(1,-1,2) до плоскости, проходящей через точки Mi(l,5, —7), М2(—3,6,3), Мз(—2,7,3).

22	Гл. 1. Аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ.

1.Находим координаты векторов:

MiM2 = {-4,l,10}, MiM3 = {-3,2,10}, MiMo = {0,-6,9},

и нормального вектора плоскости:

г	j	к	= -lOi + lOj -Бк.
п = [М1М2, MiMs] = - 4	1	10
- 3	2	10

2. Вычисляем расстояние d от точки MQ ДО ПЛОСКОСТИ ПО фор­

муле (1):
d:=|nP^MiMo| = |(n,MiMo)|	-105	= 7.
	V(-10)2 + 102 -f	(-5)2

Ответ, d = 7 ед. длины.

Условия ЗАДАЧ. Найти расстояние от точки MQ до плоскости, проходящей через точки Mi, М2 и М^.

1.	Mi(0,7,-4),	М2(4,8,-1),	Мз(-2,1,3),	Мо(-9,10,2).
2.	Mi(5,8,3),	М2(10,5,6),	Мз(8,7,4),	Мо(7,0,1).
3.	Ма(1,3,5),	М2(-5,5,2),	Мз(7,-1,8),	Мо(-3,4,3).
4.	M i ( 0 , - 2 , - l ) ,	М2(-3,-1,2), Мз(1,0,-2),		Мо(-3,3,1).
5.	Ml(2,3,1),	М2(2,0,3),	Мз(1,2,0),	Мо(3,0,5).
6.	Mi(4,3,5),	М2(4,5,2),	Мз(5,1,4),	Мо(-2,-6,2).
7.	Ml(4,5,0),	М2(4,3,0),	Мз(1,2,9),	Мо(6,1,-6).
8.	Mi(5,12,l),	М2(0,5,-3),	Мз( - 4,2, - 1),	Мо(-4,9,-8).
9.	Mi(0,3,5),	М2(0,-1,-3), Мз(4,0,0),		Мо(-1,4,6).
10. Mi(l, - 2,2),		М2(-3,2,3),	Мз(3,0,6),	Мо(-2,5,-4).
Ответы. l.d = 459/\/2265. 2. d = 5л/2. 3.d = 0.				4. d = 9/у/Ш.

5.d = N/38/38. 6. d = 5/v/29. 7. d = 2^6. 8. d = 7. 9. d = 5/9.

10.d = 45^194/97.

1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

23

1.8.Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать		уравнение	плоскости, проходя­
щей через	точку Mo{xo,yo,zo) перпендикулярно		вектору М1М2, где
точки Ml	и М2 имеют координаты	{xi^yi^zi)	и (х2,2/2,^2)•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Уравнение плоскости, проходящей через точку ^о(^О) 2/05 ZQ) перпендикулярно вектору п = {А, Б, С}, имеет вид

А{х - хо) + В{у - уо) + C{z - го) = 0.

(1)

1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор

М 1 М2 = {Х2 ~Х1,У2	~yi,Z2 -	Zi}.
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным			вектором
М1М2, проходящей через точку Мо(а:о,2/о,2;о):
(Х2 - Xi){x -	Хо) + (2/2 -	yi){y - Уо) + {Z2 - Zi){z - Zo)	= 0.

ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ­ ку Мо(2,5,—3) перпендикулярно вектору М1М2, где точки Mi и М2 имеют координаты (7,8, —1) и (9, 7,4).

РЕШЕНИЕ.

1. В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор MiM2 = { 2 , - l , 5 } .

2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором п = {2, —1,5}, проходящей через точку Мо(2,5, —3):

2 ( а ; - 2 ) - 1 ( 2 / - 5 ) + 5(гЧ-3)=0.

Ответ. Уравнение плоскости 2а: — у Н- 5z + 16 = 0.

Условия ЗАДАЧ. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору М1М2.

1.	Мо(3,2,0),	Mi(4,l,5),	М2(2,-1,4).
2.	Мо(-5,-1,0),	iWi(-5,l,-4),	М2( - 2,2, - 3) .
3.	Мо(2,-4,-2),	M i ( - l , - 3 , - 7 ) ,	М 2 ( - 4 , - 1 , - 5 ) .
4.	Мо(-5,3,10),	Mi(0,5,7),	М2(2,7,8).

24		Гл. 1. Аналитическая геометрия
5.	Мо(2,-10,-4), Mi(0,-6,-8),				М2(-2,~5,-9).
6.	Мо(1,9,2),	Mi(0,4,7),			М2(1/6,9).
7.	Мо(0,-2,7),	Mi(-5,~4,9),			М2(-2,^2,6).
8.	Мо(-1,1,-4),	Mi(3,8,-2),			М2(2,11,0).
9.	Мо(-1,7,-б),	Ml(3,5,-1),			М2(1,3,-2).
10. Мо(-5,2,5),		Mi(3, - 3 , - 2),			М2(4, - 1 , 2 ) .
Ответы.
1.	2a: + 22/ + z = 0.		2.	Зх + у + 2 - 4 = 0.
3. Зх - 2у - 22: -		16 = 0.	4.	2ж -h 2^/ + z + 9 = 0.
5.	2х - 2/ + ;г - 20 = 0.		6.	ж + 2у + 2z -- 3 = 0.
7.	Зж + 2у - Зг + 23 = 0.		8.	а: - Зг/ -	22; - 8 = 0.
9.	2х + 2у -f г - 16 = 0.		10. о; -f 22/ + 42; ~ 5 = 0.

1.9. Угол между плоскостями

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти угол меэюду плоскостями Ахх Н- Вху -h Ciz + А = 0 , А2Х -h Б22/ -f C2Z + D2 = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

ni = {Ai,^i,Ci}, П2 = {А2,^2,С2}.

Поэтому угол (^ между плоскостями определяется равенством

(П1,П2) |ni| •|П2|

ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями

X 4- 22/ - 2z - 7 = О, X + 2/ - 35 = 0.

РЕШЕНИЕ. Двугранный угол между плоскостями равен углу меж­ ду их нормальными векторами п\ = {1,2,—2}ип2 = {1,1,0}. Поэто­ му угол (/? между плоскостями определяется равенством

(П1,П2)		1 - Ц - 2 - 1 - 2 . 0	'—""• —-	1
c o s (Р ^^ "'^	^ -—	^12 + 22 + (-2)V12		V2 '
|П1|-|П2|			+ 12

Таким образом, ^ — arccos (1/\/2) = 7г/4. Ответ. Угол между плоскостями (р = 7г/4.