целое число; в этом случае подстановка а + Ьх"^ = z^,

172 Гл. 7. Неопределенный интеграл

7.10. Интегрирование дифференциального бинома

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный	интеграл
I x'^{a + bx'')Pdx,	(1)
где т, п и р — рациональные числа.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Выражение х^{а + Ъх'^У dx называется диффе­ ренциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементар­ ных функциях получены П. Л. Чебышевым.

Условил Чебышева. Интеграл (1) выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:

1) р — целое число; в этом случае подстановка ж = z^, где s — общий знаменатель дробей т и п , приводит к интегралу от рацио­ нальной функции.

2)

п

где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рациональной функции.

. т-\-1	-г, 1
3)	h р — целое число; в этом случае подстановка ах " + 6 =

п

= 2^, где S — знаменатель дроби р, приводит к интегралу от рацио­ нальной функции.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

/X Vx^ • dx.

РЕШЕНИЕ. Перепишем интеграл в виде

J X V Ж^ J

Подынтегральное выражение имеет вид х'^{1 -h x^Y при

7	1	1	m + 1
m = - - ,	n = ~ ,	P = ~ ,	+ p = - l .
5	3	5	n

Следовательно, имеет место третий случай интегрируемости.

7.10. Интегрирование дифференциального бинома

173

Применяя подстановку

х-^1^ + 1 = z^

иучитывал, что

x= {z^ ~ l ) - ^ dx = -3(г^ - 1)-'* bz^dz,

получаем

= / ( / - 1)""(1 + (.» - !)-')•"> i ^ <i. =

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

3. /	_ _ ^ _	dx,.	4.	// •	.'^ dx.
	X \/1 + а;3	•	'	J

^-	J	xWl	+ x^'^''-	^-	/ Т ^V5+l)io'^'''
9.	/	^ —	= dx.	10. /	д,	dx.

Ответы.

1Н- V х-^ \	^	^	2 / 1 + ж ^ '	4-а
1. - Г иАГ I	+а	2.	- г ( ^ ^ )

174 Гл. 7. Неопределенный интеграл

3. - l n ( v T + ^ - l ) - l n | a ; | + a

	О
^	1 , 1	+ Vr^^		1 VT^^		, ^
5.	4 \	X	\	+С.	6.	^ ( 4 ч / г + - ^ - 3 ) ^ 1 + - ^ + а
	(2х^-1)7ГГ^					1 ,	4
		3x3		+^--	»•	2 ( ^ + 1)8 ^ 9 ( ^	+ 1)9 ^^'•
	3		|ж|
	VaJ + l		( ^ + 1 ) 3
	1	^/TTF+x		1		^/TTF , ^
10.	- m	.,			arctg	h С.
	4	^/ГТ^-а;		2	^	a;

Г л а ва 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении темы ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы познако­ митесь с формулой Ньютона-Лейбница и научитесь применять ее для вычисления определенных интегралов, используя технику нахождения первообразных. Вы научитесь применять определенные интегралы для решения геометрических задач (вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел).

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти новые пре­ делы интегрирования (при использовании различных подстановок), вычислить первообразные и применить формулу Ньютона-Лейбница, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полу­ ченных вами результатов.

8.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить определенный интеграл

b

/ F{x)g{x) dx.

а

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда

6

6

(3

I F[x)g{x) dx= f u{G{x))G\x) dx = f u{G) dG,

a

a

a

где a = G(a), p = G{b).

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.

176	Гл. 8. Определенный интеграл

Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, после чего применяем формулу Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ определенный интеграл

1

xdx

/о

РЕШЕНИЕ.

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x), где д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).

В данном случае

П ^ ) - ^ ^ ^ [ ^ 2 ) 2 ^	^ Н	= 2х,		G{x) = x\	F{x) =		l^-^^u{G).
2. Тогда
1	1	f			1
Г xdx	_1		1	2 _ 1 А		1
J ^^й^^2		J	1 + (а:2)2 "^"^		^2	J	TTG^"^^'
0		0			о

где G = ^2 и G(0) = О, G(l) = 1.

3. Последний интеграл является табличным. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

			о
^	1	xdx		7Г
	г		=
Ответ.	/	—т 7		--.
	J	х^ + 1		8

о

Условия ЗАДАЧ. Вычислить определенные интегралы.

1		^	7г/4
ж	,		f	sin а: — cos а:
О			о	sm X — cos а:
				(cos ж -Ь sinx)^
/