Г л а ва 13 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При изучении темы ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы по­ знакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к по­ вторному), проецируя заданную поверхность на одну из координат­ ных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти коорди­ наты единичного нормального вектора поверхности (вычислить част­ ные производные и длину вектора), вычислить полученные вами по­ вторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

13.1.Поверхностный интеграл первого рода

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный			инт,еграл
	IIS	-f{x,y,z)da,
где Е — часть	поверхности,	описываемая уравнением	F{x,y,z) = О
и некоторыми	неравенствами.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Поверхностный интеграл сводится к двойному проецированием Е на координатную плоскость XOY по формуле

/ / f{x, у, z) da =	/ / /(ж, у, z(x, у)) 1——г,	(1)
S	D

где D — проекция Е на плоскость XOY, j — угол между нормалью к поверхности Е и осью 0Z; z{x, у) определяем из уравнения поверх­ ности F{x, у, z) = 0.

334	Гл. 13. Поверхностные интегралы

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ уравнение F{^x^y^z) =• О не определяет одно­ значно функцию Z = z(x,2/), то проецируем Е на другую координат­ ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос­ тью интеграла).

1. Единичные нормальные векторы щ = {cosа,cos/?,cos7} к по­ верхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяются форму­ лой

	gradF
	По = ±1 TFT-
	|gradF|
2.	Проекцию D поверхности Е на плоскость XOY находим, ис­
ключая Z из условий, определяющих Е.
3.	Находим Z = z(a:, г/), решая уравнение F(x, t/, z) = 0.
4.	Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор­

муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ.

ПРИМЕР. Вычислить поверхностный интеграл

Ih{-X -h Зу 4- 4:z) da,

Е

где Е — часть плоскости

х + 2г/-+-32г = 1,

расположенная в первом октанте (т.е. о: > О, у > О, 2: > 0).

РЕШЕНИЕ.

1. Единичные нормальные векторы щ = {cos а, cos ^, cos 7} к по­ верхности, заданной уравнением F{x, г/, г) = О, определяются форму­ лой

gradF

В данном случае F{x, у, 2) = х + 2^ + 3z — 1. Следовательно,

^	,{1,2,3}	.	,	3
по =	± - д ^ ,	|cos7| =		^ .

2. Поверхность Е определяется условиями

_ Г,

а;+ 2?/+ 32 = 1,

1

13.1. Поверхностный интеграл первого рода

335

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих S:

	(а:, г/, г)	z = {l-x-	22/)/3,
		х>0, у > 0 ,		г>0
				(		ж > 0 .
						- X -	2у)/3
Отсюда
		D =	{{x,y):	< 2/ < 12,		1
				О< а: < 1 -		22/ /
3. Из уравнения x-\-2y-{-3z-l				= 0 находим z{x,y) = (1-а;-22/)/3.
4.	Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор­
муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:
lj{~x	+ 4у + 3z) da=		[{-X	+ 4у + Зг)		у/й	dxdy^
					г=(1-ж-2у)/3
				1/2	1-2у
= ^jj{l-2x		+ 2y)dxdy = ^ j d y			I	( l - 2 x + 2y)da: = ^ .

Ответ. {-X-]-Ay + Sz) da = "Is"'

Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.

l.jlxyzda,	Е =	<|(x,T/,z) : х > О, т/> 0,'z > О Г*
JJ{y-^z)da,	Е =	< (x,2/,z) :
		>0, у > 0 , z > O J

336

Гл. 13. Поверхностные интегралы

3. 11 (зх

+

^z)

da,

Е = I (х,у,z) :

ж4-2//2 + г/3 = 1,

^ > 0 ,

г/>0,

z > 0

Г Г

Г

a; +

22/ + 3z =

l,

4.

/ / ( x + lSy-f

24z)d(7,

E=U2^,y»'^):

a^>0,

y > 0 ,

z > 0

E

5.

zda,

E =

^ (ж,2/,^) :

a;2 + у2 +

2:2 =

1,

I

z>0

I

6.

{x + у Л- z) da,

E =

< (x, 2/, 2:) :

2^>0,

2/>0,

;^>0

7.

/bdcT,

E=: <(x,2/,2;):

0 < г <

1

J

S. JJ{x^

+ y^)da,

Е = | ( х , 2 / , г ) :

x2 +2/2-^2

= 0,

I

0<z<l

J

9.

{xy-\-yz-\-

zx)da,

E = < ( x , 2 / , z ) :

0 < z

< 1

10. [fV^^T^da,

x^ + 2/2 -

42;2 =

0,

^={{x,y,z):

1/2

J J

I

0 < z <

Ответы.

1.

V3/120.

2. \/3/3. 3. 35/6.

4.

\/Т4/2.

5. 27г.

6. \/3/2.

7. 12(1 + б\/3)7г/15.

8. \/27г/2.

9. 0.

10. \/57г/3.

13-2. Интеграл по цилиндрической поверхности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный интеграл

/ / f{x,y,z)da,

Е

где Е — часть поверхностей х^ Л- у^ — г^, вырезаемая плоскостями Z — О и Z = h.

13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности

337

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты

^ж = gcos^p,

Z — Z.

в этих координатах поверхность задается условиями

5 ] =	< (^,^,z):		0 < ^ < 2 7 Г , > .
			О < Z < /i
2. Так как	da == rd(pdz^
то		27Г	h
/ / f{xjy^z)da	= r	d(f	f {r cos (fJ r sin if,	z)dz.
E		0	0
3. Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ поверхностный интеграл
	/ /	{х'^ + у'^) da,
где Е — часть поверхности		ж^ + 2/^ = 1, вырезаемая		плоскостями
г = 0, z = 2.

РЕШЕНИЕ.

1. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты

X = gcosip, у = gsinif,

Z — Z.

в этих координатах поверхность задается условиями

0 < г < 2

338	Гл. 13. Поверхностные интегралы
2.	Так как da — 1 - c?(p(izHX^ + y^ = l, то имеем
		27Г	2
	11 {х^ -^y^)d(T=	d(p	dz.
	s	0	0
3.	Вычисляем повторный интеграл:
	27Г	2
	{х'^ + y^)da=	d^	dz = A7r.
	о	о

Ответ.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.

	1. / / xda,	z = 0, z = 2
	Е

2. ll{x

+ y)dcT,

Е+ z) dcr,

2

E

5. ff{2-x^~y^)d(7,

E

Е=

Е=

S (a;, 2/,^) •

S (ж, 2/, 2:) :

E =

x2 + 2/2 = 4, z = 0, 2; = 4

ж^ + у^ = 1, Z = 0, Z =:= 1

x2 4- у2 = 2, z = 0,z = l

x^ + y^ = h z = 0, z = 2

	6. ff{x'^ + z)da,	E =	x'^-\-y^ = h
			;г = 0,	z =	3
	7. II y/^Vy^dcj,	E =	x2 -f г/2 =		4,
			2 = 0,	z = l

E