1.12. Проекция точки на плоскость или прямую

31

1-12. Проекция точки на плоскость или прямую

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р' точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Проекция Р' точки Р на плоскость является ос­ нованием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п = = {А, В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

х-хр	у-ур	Z-	zp
А	В	С	'

2. Находим координаты точки пересечения Р' этой прямой с за­ данной плоскостью (см. задачу 1.11). Положим

х-хр	_ у-ур _ Z- Zp _
А	~ В ~ С "

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

X = At-\- хр, у = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.

3.Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи­ тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат проекции точки на прямую.

ПРИМЕР . Найти координаты проекции Р ' точки Р(1,2,—1) на плоскость Зж — 2/4-22: — 4 = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =

32	Гл. 1. Ансиитическая геометрия
= {3, —1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
	х-1	_ у-2 _ z-hl
	3	"" - 1	2	'
	2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р' этой прямой с задан­
ной плоскостью. Положим
	х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _
	3	"" - 1	•" 2	"^ '
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
		x^St	+ 1,
		y = - t + 2,
		2 = 2t - 1.

3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.

4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо­ вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).

Ответ. Проекция Р' имеет координаты (7,0,1).

У с л о в ия ЗАДАЧ. Найти координаты				проекции точки I^ на плос-
1.	Р(1,0,1),	4х + бу -f 4z -		25 = 0.
2.	Р(-1,0,-1),	2х + 6у'-2г-\-11			= 0.
3.	Р(2,1,0),	2/-hz + 2 = 0.
4.	Р(0,2,1),	2а: 4- 42/ -	3 = 0.
5.	Р(-1,2,0),	4 х - 5 2 / - г - 7		= 0.
6.	Р(2,-1,1),	x-y-\-2z-2=^0.
7.	Р(1,1,1),	ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0.
8.	Р(1,2,3),	2х -h Юу + lOz -			1 = 0.
9. Р(0,-3,-2),		2х -МО2/ -f- lOz -			1 = 0.
10. Р(1,0,-1),		2y + 4z-l	= 0.

Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости

33

1.13.Симметрия относительно прямой или плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич­

ной точке P{xp,yp,zp)	относительно	прямой
X - хр _ у -уо _ Z - ZQ
I	т	п

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди­ кулярной данной и пересекающей ее в точке Р'. Поскольку точка Р ' делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий

^Р'	=	хрЛ-XQ	yp + yq	zp + ZQ	(1)
		2 " ^ , УР' =	2 ~ ^ . ^Р' =	^ ,
где xp,yp,zp	— координаты точ1си Р и xp^^ypf^zp/ — координаты

еепроекции Р' на данную прямую.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р ' (см. задачу 1.12). Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем

1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;

б) найдем координаты точки пересечения Р ' этой плоскости с за­ данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри­ ческой форме

X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе­ чение прямой и плоскости;

в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяем из условий (1). Получаем

XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур' - ур, ZQ = 22;р/ - zp.

34	Гл. 1. Аналитическая геометрия

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой

X — 1 _ у __ Z -\-1

1 "^ О - 2 *

РЕШЕНИЕ.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р'. Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда

1(а: -	2) + 0(2/ + 1) - 2(z - 2) = О =Ф ж - 2z + 2 = 0;
б) найдем	точку пересечения	заданной прямой и плоскости
X — 2z + 2 =	0. Для этого запишем уравнения прямой в парамет­
рической форме:
	x = t +	l,
	z = -2t-	1.

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на­ ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = —1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = —1, получаем

жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова­ тельно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0,0,1).

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяются из условий (1):

XQ = 2хр' — Хр = —2,

VQ = 2ур/ - 2/р = 1,

ZQ = 2zpf — zp = 0.

Ответ. Точка Q имеет координаты (—2,1,0).

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости

35

Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ­ ке Р от^носителъно заданной прямой.

1.	Р(0,-1,3),	X — 1		_	2/ .		Z
		1		- 1		"	1
2.	Р((2,1,-1),	X —
		~2			0		- 1 *
3.	Р(-1,0,3),	X	_ 2/ +		1 _		1 *
		0	'	2		'
4.	Р(3,0,-1),	X	_	2 / - 1 .			Z
		Т''		1
5.	Р(-1,2,1),	х + 1 __ у -2					_z
		- 1		-		~
6.	Р(3,-1,0),	X	_У		_	^ +	1
		I ~		0	~	2
7.	Р(-1,3,0),	X	_	2^		_ г - 1
		т		- 1			- 1
8.	Р(1,-1,2),	X	_	2/ +		1 _	Z - 2
		0			1		- 2	'
9.	Р(0,3,-1),	X	+	1 _		2/	Z
			2			1
10.Р(0,2,1),		X - 4 _ у_+ 1 _ 2^ - 2
				2		-	1	3 -

Ответы. 1.(4,-1,-1). 2.(2,-1,-1). 3.(1,2,-1). 4. (-1,4,-1). 5. (-1,2,-1). 6. (-1,1,2). 7. (-1,-1,4). 8. (-1,-1,2). 9.(2,-1,1). 10.(4,-2,-3).