12.7. Вычисление площадей в полярных координатах							307
Условия ЗАДАЧ.				Найти		площади фигур, ограниченных		задан­
ными	линиями.
1.	2/ = 2/а;,	у = ^е",			у = 2,		у = А.
2.	у = 1/х,	2/ =	2е^,		у = 1,		у = 2.
3.	у = 2/ж,	у = 2^/x,			ж = 4.
4.	х2 4-2/2 =	2,	у = -х'^			(2/<0).
5.	2/ = >/ж,	2/ =	О,	ж = 4.

6.X = 2 — 2/^, X = —у.

7.	2/ = sinx,	y = cosx, ж = О, ж = 7г/4.
8.	2/ = 2а:^ -	1, у = ж.

9.х = А/4 - 2/2, ж = 2/V3.

10. 2/ = In а:, у = е/х,				х = 1.
Ответы.	1. 5	=	2.	2. 5 =	1.	3. 5 = 28/3 -	In 16.	4. 5 =
= 7г/2 + 1/3.	5. 5	=	16/3. 6. 5 =		7/6.	7. 5 = v ^ -	1. 8. 5 =	27/24.

9.5 = 27Г/3 - \/3/б. 10. 5 = е - 1.

12.7.Вычисление площадей в полярных координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченной

двумя окруэюностями
2/2 + ai2/ + hx	+ а:^ = О,		2/^ + «22/ + ^2^:^ + ж^ = О,
(fli = 0 , 02 = О,	6162 > О	или	bi = 0 , 62 = О,	aia2 > 0)
и двумя прямыми
тп\у Н- kix = О, (mf + kl ^		0),	Ш22/ + /i^2a: = О,	( т | + А:^ т^ 0).

308	Гл. 12. Кратные интегралы
	ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИЗ определения двойного интеграла следует, что
искомая площадь S численно равна
	5 = И I- dxdy.	(1)

D

1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать, переходя к полярным координатам

X — р cos V?,

у= р sin (^

изаписывая уравнения границ в полярных координатах.

При этом область D перейдет в область D', а искомая площадь будет равна

5 = / / р dp dip.

D'

2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

\ ' * Pl{^) < Р < Р 2 Ы J * 3. Переходим от двойного интеграла к повторному:

S = dip / pdp

и вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла. Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР . Найти площадь фигуры, ограниченной данными лини­ ями

2/2-42/ + а:2=0, y^-Sy + x^ =0,

^ ^ ^ '

^ " ^'

РЕШЕНИЕ.

1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать, переходя к полярным координатам

X = pcosip, у = psimp.

12.7. Вычисление площадей в полярных координатах		309
При этом область D перейдет в область JD', ограниченную линиями
7Г	7Г
g = 4:Siinp, Q = Ssmip, ^ = "^ ,	^ = "2 *
А искомая площадь будет равна
5 = / / gctgdip.

D'

2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

I4 sin v? < ^ < 8 sm (^ J

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

7г/2

8sin(^

S =

dip /

gdg.

7г/6

4 81П<^

Последовательно интегрируя, получим

7г/2

8sin(^

7г/2

Q .

7г/2

S =

d(p

/

^ d ^ =

/

9

dip = 24: sin^ (^dv? = 47Г + ЗУЗ.

J

J

J

14 sin (^

«^

7г/6 4sinv?

7г/6

7г/6

Ответ.

5 =

(47Г + 3\/3)

(ед. длины)^.

Условия

ЗАДАЧ.

Найти

площади

фигур^ ограниченных

задан­

ными

линиями.

1.

у'^-3у

+ х^=0,

2/2-52/ +ж^ = О,

y = x/V3,

х = 0.

2.

2/^ +

32/ +

а^^ =

О,

2/^ + % + а^^ =

О,

2/ =

а:,

ж = 0.

3.

у'^ -Зу

+ х'^ =0,

2/^ -

72/ + ^2 =

О,

2/ =

VS^,

х = 0.

4.

2/^ + 32/ + ^2 =

О,

2/^ + ^2/ + ^2 =

О,

у = х,

у =

х/л/З.

5.

2/^ -

32/ + ic^ =

О,

2/^ -

^2/ Н- а^^ =

О,

у =

х/\/3,

х =

\/Зх.

310			Гл. 12. Кратные интегралы
6.	у2 -	5ж Н- а;2 = О,		у^ - 7ж + х^ = О,	у = х/\/3,	у = 0.
7.	2/2 -Ь 4х + х^ =		О,	2/^ + бж + ж^ = О,	2/ = ж/\/3,	2/ = ^За^-
8.	2/^ -	Зж + ж^ =	О,	у2 _ 5д; _|- х^ = О,	2/ = \/За;,	2/ = О-
9.	у2 + 2х + х^ = О,			у2 + 4х + х^ = О,	у = х, 2/ = 0.

10. 2/2 + 2х + х^ = О, у2 + 10а; 4- х^ =					О, 2/ =	\/За:,	2/ = 0.
Ответы.		1.5 = 47Г/3 4- \/3. 2.		5 = тг + 2.		3. 5 = бтг/З -f 5v/3/2.
4. 5	= 7г/3 -	2 4- ^/З.	5 . 5 = 27г/3.	б. 5	= тг + 3\/3/2.		7. 5 = бтг/б.
8. S	= 47г/3 + \/3 . 9.		5 = 37Г/4 + 3/2.		10. 5 =	Зтг 4- 6\/3.

12.8. Вычисление массы плоской пластины

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу плоской пластины D с по­ верхностной плотностью fi = 1л{х,у)у ограниченной заданными кри­ выми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /i(x,2/) опреде­ ляется формулой

771= fi{x,y)dxdy.

D

2. Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР 1. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = 16х + 92/2/2, ограниченной кривыми

X = - , 2/ = О, 2/^ = 16х {у > 0).

РЕШЕНИЕ.

1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = 16x4-92/^/2 определяется формулой

= лГ/* Л(l6x. +92'2^^) dxdy.

12.8. Вычисление массы плоской пластины

311

2. Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых коор­ динатах:

а) зададим область D системой неравенств:

Г	О < ж < 1/4,
\	О < 2/ <	4^Д.
Неравенство О < ж следует из того, что у'^ =				1бж, т.е. х неотрица­
тельно;
б) перейдем от двойного интеграла к повторному:
		1 / 4	^у/Х
/ / I 1бж Н——- ] dxdy =		dx	/	I 16а: Н—— | dy]

в) последовательно интегрируем, используя свойства определен­ ного интеграла:

1/4 4v^

'.2

т

оо

1/4	^	з> -^-/^	' / ^
1/4
= (	( 16жу + —	|4v^	dx := 160 1 x^l'^ dx = 2.
		)

О

Ответ, m = 2 ед. массы.

ПРИМЕР 2. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью yi = a:^/(a;^ + 2/^)) ограниченной кривыми

2/2-42/ + х 2 = 0 , г/2-82/-Ьж2=:0, 2 / = " ^ , х = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х'^/{х"^-\-у'^) определяется формулой

D

2. Вычисляем полученный двойной интеграл:

312	Гл. 12. Кратные интегралы

а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать в полярных координатах

X	=	Q cos if,
у	=	QsiiKf.

При этом область D перейдет в область D', ограниченную линиями

			7Г	7Г
^ = 4sinv?,		g = Ssmip,	^=-^^	^ " ^ 2 " '
а искомая масса определяется формулой
т =	—2	2 ^^^У —	11 cos^ ^ gdg dip.
	D		D'

Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

		Г	7г/6 <	(у9 < 7г/2,	1
		(^	4 sm (у^ < ^ < 8 sm (^ J
б) перейдем от двойного интеграла к повторному
			7г/2	5sm(^
	m = / /	cos^ (р gdgdip = /		cos^ (pd(f	g dg\
	D'		я//6	4sinvsin 033
B) последовательно интегрируя, получим
7г/2		д> sirup	7г/2	8 sin<^
m = /	cos^ ipd(^	I gdg =	cos^ (f	dip	=
7г/6	4sinv(f?		7г/6	4 simp

7Г/2

= 24: f sin ip cos ipdip = ( 3(^ — - sin 4(^ 7Г/2 = 7Г + 3\/3

7г/6

7Г/6

Ответ, т •= тг -\- 3v3/8 ед. массы.

12.8. Вычисление массы плоской пластины

313

ПРИМЕР 3. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = х/у^, ограниченной кривыми

JC	2	»*'	2	X	/	X	\
	о		о
^ + У^ = l,		1^ + у^ = 3, у = - , х = 0				( у > - , х > 0 ) .

РЕШЕНИЕ.

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х/у^ опре­ деляется формулой

D

2. Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) зададим область D неравенствами в декартовой системе коор­

динат
D= ^ (х,2/):	16
I	У > х/А, X > О

Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в обоб­ щенных полярных координатах

X = Ад cos (/?,

{ у = Q sirup.

При этом (^, (р) е D\ а. искомая масса определяется формулой

	m	•^dxdy=	-p^Agdgd<p.
		JJ У^	J J g^sm^'cp
		D	D'

Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющих область D, X на Agcosip и у на ^sin<^:

1 6 ^ 2	C0S2 (^	2	- 2	/ о
1 <	-~	+ г	sm (^ < 3,
	10
gsirnp > Ад cos (/?/4,			^ cos <^ > 0.

Решая эти неравенства относительно д и if, получаем

1<д<уД,

— < (^ < —

3. fi = x'^ + 2y,

314	Гл. 12. Кратные интегралы

б) переходим от двойного интеграла к повторному:

7г/2

V3

т =

, .

. Agdgd(p=

d(p

lQg~

о

COS ip ,

J J

^'•^dg;

Q^sin^'ip

J

J

sm (f

D'

7Г/4

B) последовательно интегрируя, получаем

7г/2

d sirup

у/3

7г/2

V3

т = 16

I

f

Q-^dg = 16

^^^-^^^

/

4sin^ (f J

2g'

= 4.

/

sin^if

J

7г/4

7Г/4

Ответ,

m = 4 ед. массы.

Условия

ЗАДАЧ.

Найти

массу

пластины D

с поверхностной

плотностью

fi, где D

ограничена заданными

линиями.

1.

/i =

2a; +

2/^,

х = i,

у = О, у =

у/х.

2.

fi =

x'^ +

y,

х = 1,

у = 0,

у = 2^х.

4. /i==a;-f2/^,

5. /i = х-у

х^ + 2/^'

6. /х = 22/-ж х^ + 2/^'

7. /х = у-х х2 + 2/^'

8. /i(x,2/)=2/,

а: = О,	2/ =		4,	у = х^ {х		>0).
х = 0,	2/ =		1,	у = х2/4 (ж > 0).
ж = О,		2/ = О,			х^ + 2/^ = 4,		х^ + 2/^ = 9
							(х > О, у < 0).
X = О,		2/ =		О,	х^ + 2/^ = 3,		х^ + 2/^ = 5
						( х < 0 ,		2/>0).
X = О,		2/ = О,			х^ + у^ = 4,		х^ + 2/^ = 16
						( х < 0 ,		2/>0).
2/ = О,	2/ = а;\/3,				х^ + ^	= 1,	х^ + ^ = 9
						(2/>0,		у<хуД),