344	Гл. 14. Теория полл

Условия ЗАДАЧ. Найти векторные линии векторных полей.

1.	а = 2уг -\-6xj.	2.	а = 2xi + 3yj.		3.	а = 2yi — Axj.
4.	а = zi — хк.	5 . 5		= 2yj -f 3zk.	6.	a = zi — izk.
7.	a = 2zj + 9yk.	S.	a	= Sxi + 6yj.	9.	a = 3yi — 2xj.

10. a = yj + zk.

Ответы.

2x2 + 2 / 2 - C i ,

Z = C2.

z =	Ci/y,
X =	Go.

14.2. Поток векторного поля

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти поток	векторного полл
а = Р(ж, 2/, z)i-\- Q{x, у, z)j	+ R{x,	у, z)fc
че^^ез поверхность Е, описываемую уравнением		F{x,y,z)—0 и неко­

торыми неравенствами {нормаль образует острый угол с осью 0Z).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяется формулой

П = ff{a,no)da.

(1)

S

1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^y,z) = О, определяется формулой

gradF

По = ±1 7-=г7 = ±{cosa,cosp, cos7^• gradF

14.2. Поток векторного поля

345

Учитывал что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z , т.е. что cos 7 > О, выбираем в этой формуле знак плюс или минус. Имеем

По = cosm Ч- cosPj + cos'yk, cos 7 > 0. 2. Находим скалярное произведение

(5, щ) = Р{х, у, z) cos а -Ь Q{x, у, z) cos /3 + R{x, у, z) cos 7 = f{x, у, z).

3. В силу формулы (1), поток определяется поверхностным интег­ ралом:

П =

{a,no)da=

f{x,y,z)da.

ss

4.Переходим от поверхностного интеграла первого рода к двой­ ному, проецируя Е на плоскость XOY:

				dxdy
П== / /	fix,y,z)da=	/ /	f{x,y,z{x,y)) I COS7I'
где D — проекция E на плоскость XOY;				z(x, у) определяем из урав­
нения поверхности F{x^y^z)		— 0.
ЗАМЕЧАНИЕ.	Если уравнение F{x,y^z)			= О не определяет одно­
значно функцию Z = z{x^y)^		то проецируем Е на другую координат­

ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос­ тью интеграла).

5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПР И М Е Р . Найти поток векторного поля

а= —xi 4- 2yj -h zk

через часть плоскости

x + 2y + 3z = l,

расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью 0Z).

346	Гл. 14. Теория поля

РЕШЕНИЕ.

1.Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением

F(a:, ?/, z) = О, определяется формулой

, grad F

По = ±1

|gradF|*

В данном случае F{x^y^z) = х -{- 2у -\- 3z — 1 и, следовательно,

{1,2,3}

По = i - у/и

Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z , т.е. что cos7 = ±3/\/l4 > О, выбираем в этой формуле знак плюс. Имеем

2. Находим скалярное произведение:

{а,по) = —=={'-x + Ay-^3z).

Vl4

3. Согласно формуле (1), поток определяется поверхностным ин­ тегралом:

П = И -^{-х

+ 42/ -I- 3z) d<T.

4. Переходим от поверхностного интеграла к двойному, проеци­ руя Е на плоскость XOY:

П = / / •у={-х -f 4у + Зг) da

dxdy

z={l~x-2y)/3 1^0^71'

D

где D — проекция Е на плоскость XOY и cos 7 = Поверхность Е определяется условиями

I a;>0, 2/>0, 2:>0

14.2. Поток векторного поля

347

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих Е:

/			z^{l-x-2y)/3,		\
\			а;>0, j / > 0 ,	z > 0	J
					Г	х>0,	у>0,	]
Отсюда			p = L , , ) . 0 S » < l / 2 . 1
			[^ '^^	0 < х < 1 - 2 2 / J
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:
и=	jh-x	+ Ay + Sz)			dxdy
					|cos7|
			z=il-x-2y)/3
					1/2	1-2у
=	^JJ{l-2x		+ 2y)dxdy=^		J dy	J {l-2x	+ 2y)dx =	j ^ .
	D				0	0

Ответ. П = 1/18 ед. потока.

Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через часть плоскости^ располоэюенную в первом октанте {нормаль образует острый угол с осью 0Z).

1.	а = xi-hyj,	X -\-у -{• Z = 1.
2.	a = 2xi-\-zkj	х -\-у -\~ z = 1.
3.	а = yj -f- zk^	2х -i-y + z = 1.
4.	a = xi-{-yj^	X -\-y -\-2z — 1.
5.	a — yj -\- zk,	2x + 2y + z = 1.
6.	d = xi-\-yj^	2x ~\-у-\-2z = \.