10.3. Вторая теорема сравнения					217
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.
	у^	arctg(n^)				^ ^ 4	—2sinn
	^	n(n + 2)(n + 3)'			*	^	n - l n n	•
	n=l	^	"^ ^	^		п=1
	1г~^ 2 4- cos п					^ ^ п"^ In п
	п=1					п=2
		5 — 2 COS п			^	v-^	2 + Sin п
	п = 1		5 / 3	•	^-	^2 ^ П(п2 + 3) •
						п=1	^	'
	оо	,			о	со	о
	Y^	^^^				v ^	cos^n
	n=l	^				n=l
Q	ж		Inn		^^	v ^	Inn
	n=l	v n	-t- 1			[ ^/пТЗ
						^^^

Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд расходится. 3. Ряд сходится. 4. Ряд расходится. 5. Ряд расходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится.

10.Ряд расходится.

10.3.Вторая теорема сравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюи- т,ельными членами

оо

п=1

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Проверяем, что limn_>oo <in = О (если lim„_^oo ctn ¥" О? то ряд расходится, TcLK как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2.Проверяем, что а^ > О для всех п > 1.

3.Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда, используя вторую {предельную) теорему сравнения.

218		Гл. 10. Ряды
Пусть	даны два ряда	Х^^х^п?	X ) ^ i ^п) причем		существует
помер N	такощ что при всех n>N		ап>0	ubn>0.
Если сущесппвует конечный и отличный				от нуля предел
		lim	—,
		n—>оо	0^
то ряды Yl^z=i ^п и S ^ i		^п либо оба сходятся^ либо оба			расходятся.

В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем гармонический ряд Yl^=i —? который сходится при р > 1 и расходится при р < 1,

или геометрический ряд X^^i сд*^ {q > 0), который сходится при q < 1 и расходится при g > 1. Таким образом, нужно найти последо­ вательность А/п^ (или Bq"^) такую, что

On ~ — (или an ~ Bq^) при п -> оо.

пР

Вывод: по второй теореме сравнения исходный ряд сходится, если

р > 1 (gf < 1), и расходится, если р < I {q>		I).
ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда
оо	П
Е__arcsm^
	-(гг2 + 3)5/2	•
РЕШЕНИЕ.
1. Имеем
lim arcsin --z—TTT-JT;		== 0.
n->oo	(п2 + 3)5/2

2. Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действи­

тельно,

п

arcsm —~т—-ттт^ > О (п2 -f- 3)5/2

при всех п > 1, так как п/{п'^ -h 3)^/2 е (0,1).

3. Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Имеем

п1

arcsm (п2^ ^ -^f n\F3)5/2./o ^ ^4"~4 ^Р^ п -> оо.

Ряд

п = 1

10.4. Признак Даламбера

219

сходится как гармонический с р = 4 > 1. Следовательно, в силу вто­ рой (предельной) теоремы сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ. Ряд ЕГ=:1 ^J^csin ^

^^^ сходится.

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

1.	y^ln^^^T			-.	2.	У^ п		f 1 -	cos 4г V
	п=1					п=1
	оо					оо			-
3.	2 J	^^'^ arctg —.			4.	Y^ n^ sin -3-=
	n = l
	сю					^ .		n + 3
P: V ^ i ^ ^ + 3					6.
5.	>	nln—5		-.		>	sm-—;		-T-r.
	^		n4 + 2			^ ^		n(n + 2)3
	n = l					n = l		^	-^
^	^	3 - + П			^	^ 3 ^			. n^ + l
7.	>	z	Z-.		8.	>		V^arcsm—^—-.
	n = l					n = l
	00				10.	00
9. En^(eV-^-l).						E"tg'^-
	n = l					n = l

Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд сходится. 4. Ряд расходится. 5. Ряд сходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд расходится. 10. Ряд сходится.

10.4. Признак Даламбера

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюительными членами

оо

п=1

где an ^ Ьп и Ьп содерэюит произведения многих сомнооюит^елей {например., факппориалы).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при вычислении предела

п—^оо On

220	Гл. 10. Ряды

можно сократить многие множители в числителе и знаменателе дроби bn-\-i/bny то обычно применяют признак Даламбера.

Пусть дан ряд с полоэюителъными членами

с»

п = 1

Если существует предел

lim —— = д,

п->оо On

то при Q < 1 ряд сходится, при д > 1 расходится. (Если ^ = 1, то признак Даламбера ответа не дает.)

1.Проверяем, что а„ > О при всех п > 1.

2.Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е. будем иссле­ довать сходимость ряда X l ^ i ^п такого, что а^ ~ Ьп при п —> оо, а затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

3.Вычисляем bn+i-

4.Вычисляем предел

l i m % : i = ,.

(1)

5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Если ^ < 1, ряд Yl^=i ^п сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п-

Если ^ > 1, ряд Yl^-i Ьп расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится и исходный ряд X ) ^ i ^п-

П Р И М Е Р . Исследовать сходимость ряда

^оо i1.• 4	•. Y7	••... . ••{6П(3n—- Z)2) ,^
		sm -
n = l

РЕШЕНИЕ.

1.Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,

а„ =	1.4.7- ... • (Зп -•2) .		1
	п!	— sin	2 ^ > 0

при всех п > 1.

	10.4. Признак Даламбера			221
2. Поскольку sinx ~ X при ж ^		О, можно упростить		выражение
для an'.
Ь 4 • 7 > ...»	(Згг - 2) . _	1 _	Ь 4 • 7 • ... • (Зп - 2)
п!	^^^ 2^+1 ""		2^^+1гг!

т.е. будем исследовать сходимость ряда X^^i ^п? где

_ 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2) 2-+1п!

и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.

Поскольку Ьп содержит произведения сомножителей типа факто­ риалов, следует применить признак Даламбера.

3. Вычисляем bn-{-i'

_	1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2)»(Зп -f 1)
Ьп+1-	2^+2(гг + 1)!

4. Вычисляем д по формуле (1)

Q = hm —— =

n—>oo Ofi

	1. 4 • 7 •... • (3n - 2) • (3n -f 1)	2"+in!
} ^	2"+2(n + 1)!	1 • 4 . 7 •... • (3n - 2)

= lim	3n + 1		3
	-7	-7 =	- .
n->oo2(n+l)			2

5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.

Так как д = 3/2 > 1, то ряд

у > Ь 4 • 7 •.. • • (Зп - 2)

п=1

расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится

и исходный ряд.

v^ 1 • 4 . 7 •... • (Зп - 2) .			1
Ответ. Ряд 2^	j	sm ^^^	расходится.

п=1