Г л а ва 2 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

При изучении темы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА вы познакомитесь на примерах с понятиями линейного (векторного) пространства, линей­ ного оператора, его матрицы, образа, ядра, ранга, дефекта, собствен­ ных векторов и собственных значений. Вы научитесь выполнять раз­ личные операции с операторами и матрицами, исследовать и решать системы линейных уравнений, получать всю информацию об опера­ торе (матрицу, образ, ядро, ранг и дефект, собственные векторы и собственные значения) по его матрице, преобразовывать векторы и матрицы при изменениях базисов.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете выполнить все действия с матрицами, привести матрицу к редуцированному (га­ уссову) виду, вычислить определители, обратную матрицу, решить системы уравнений, проверить линейность оператора, решить харак­ теристическое уравнение, найти собственные векторы и собственные значения оператора, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

2.1, Правило Крамера

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Решить систему трех линейных уравне­ ний с тремя неизвестными

СЦХХ + С12Х2 -Ь СхзЖз = ^1, C2ia:i + C22X2 + С23Х3 = d2, Csia^l -Ь CS2X2 + СззХз = ^3

по правилу Крамера.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ определитель матрицы системы

СЦ С12 С13 Д = С21 С22 С23 С31 Сз2 Сзз

2.1. Правило Крамера

37

отличен от нуля, то система имеет решение и притом только одно. Это решение определяется формулами

^'~	д '	г =	1,2,3,	(1)

где Ai - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой г-ого столбца столбцом свободных членов.

1. Вычисляем определитель матрицы системы

С Ц

CI2 CI3

С21 С22 С23 С31 Сз2 Сзз

И убеждаемся, что он не равен нулю. Следовательно система уравне­ ний имеет единственное решение.

2. Вычисляем определители

	dl	Ci2	Ci3	Сц	dl	ci3	С ц	Ci2	dl
A i:	d2	C22	C23	A2 = C21	d2	C23	C21	C22	C?2
	6^3	С32	Сзз	сз1	ds	Сзз	C31	C32	ds

3. По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

Ai

Х2 = А хз = А • ПРИМЕР. Решить систему уравнений

XI + 2ж2 + а:з = 4, Зжх — 5x2 + Зхз = 1, 2^1 + 7^2 - жз = 8

по правилу Крамера.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем определитель матрицы системы, разлагая его по первой строке:

2 -5 = 1 - ( - 1 6 ) - 2 - ( - 9 ) + 1-31 = 33.

7

Так как он не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение.

38					Гл. 2.	Линейная		алгебра
2. Вычисляем определители
		4	2		1
Ai	=	I 1	- 5		3	= 4 - ( - 1 6 ) - 2 . 25 + 1 - 4 7 = 33,
		]	7		- 1
		1	4		1	1. (-25)	-	4 . (-9) -h 1 • 22 = 33,
Д о	=	3	1		3
		2	8	- 1
		1	2		4
Д я	=	3	- 5		1 =	1. (-47)	-	2 • 22 + 4 . 31 = 33.

27 8

3.По формулам Крамера (1) находим решение системы уравнений

XI = 1 , Х2 = 1, Жз = 1.

Ответ, xi = 1, Ж2 = 1, жз = 1.

У с л о в и я ЗАДАЧ Решить системы уравнений по правилу Крамера.

	X	+ Ъх2 -	а:з = 2,
1. i	2х	- Зж2 -f 2жз = О,
	Зх	- 2^2 -	жз = 4.
3. I	2х	Н- 3x2 +	хз = 1,
	Зх	- 5x2 + 2хз = - И ,
	Бх	+ 2x2 - 2x3 = -3.
	X	Н- 5x2 +	хз = -8,
	2х	- 3x2 + 5хз = 16,
	Ъх	-f 2x2 -	а^з = -6.
	X	+ 2X2 +	а;з = 2,

7.Зж + 2x2 -f Зхз = б,

2х - 2x2 - хз = 7.

X	+ 3x2 + хз = —5,

9.Ъх - 4x2 + Зхз = 11, 2х -f 4x2 - Хз = -9.

xi-f 2x2 -Ь хз = 5,

2.3xi — 5x2 ~i~ Зхз = —7, 2xi -f 7x2 — Хз = 13.

xi+ 4x2 -Ь Зхз = 5,

4.3xi — 2x2 + Зхз = 9, 2xi + 4x2 — Зхз = 1.

xi+ 3x2 + 2хз = —5, 2x1 - 2x2 + 3x3 = -8, 3xi -f- 4x2 - 4x3 = 5.

Xi +	5X2	+	Хз = 3,
2xi —	3x2	+ Зхз = 8,
2xi +	4x2	-	Хз = 0.

xi+ 2x2 + Зхз = 5,

10.3xi — 2x2 + Зхз = —1, 2xi 4- 3x2 - 2хз = 8.

vyiDc.DОтветы.. 1. Xi = 1, X2 = 0, Хз =				-1. 2. Xi =		0, X2 =	2, Хз = 1.
3. xiXI	= -1, X2 =	1, Хз =	0. 4. xi =r 2, X2 =		0, Хз = 1.		5. xi = 0,
Х2 =	-2, Хз = 2.	6. xi =	-1, X2 =	0, Хз =	-2.	7. xi =	3, X2 = 0,
„^ =	-1. 8. xi =	1, X2 =	0, Хз =	2. 9. xi = 0, X2 = -2, хз = 1.

10. xi = 1, X2 = 2, Хз = 0.

2.2. Обратная матрица

39

2.2. Обратная матрица

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задана квадратная матрица т^ретьего порядка

С и	С12	С13
(С31С21	С32С22	СззС23
Установить существование и найти		обратную матрицу С~^.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Матрица С~^ называется обратной квадратной матрице С, если

где Е — единичная матрица.

Если detC ф О (матрица С — невырожденная), то матрица С имеет обратную, если det С = О, то матрица С не имеет обратной.

1. Вычисляем определитель матрицы det С Если det С ^ О, то матрица С имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

С =	Си	С\2	Ci3
	С21	С22	C2Z
	Сз1	Сз2	С'зз
3. Транспонируем матрицхуСС
	Си	С21	с31
	С\2	С22	Сз2
	C\z	С23	Сзз

4. Разделив матрицу С^	на определитель, получаем искомую об­
ратную матрицу
	Си	С21	Сз1
det с	Си	С22	Сз2
	\ ^	^	г*
	<-^13	^2Z	<~^33

5. Проверяем, что С • С~^ = Е и записываем ответ.

ПРИМЕР. Задана квадратная матрица третьего порядка

2

С = I 3 - 5

40	Гл. 2. Линейная алгебра

Установить существование и найти обратную матрицу С ^.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем определитель матрицы detC:

1	2	1
detC = 3	- 5	3 = 1 - ( - 1 6 ) - 2 - ( - 9 ) + 1-31 = 33.
2	7	- 1

Так как det С ф О, то матрица С имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений

С =	16	9	31
	9	- 3	- 3

110 - 11

3.Транспонируем матрицу С

ст =	16	9	11
	9	- 3	0

31- 3 - И

4.Разделив матрицу С^ на определитель, получаем искомую об­ ратную матрицу

	сс-^ =	-16	9	11
		9 - 3		О
		31	- 3	- 11

Ответ. Матрица, обратная матрице С, есть

	С-'	1	-16	9	11
			9 - 3		О
		33
			31	- 3	- И