12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

301

12.5.Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти объем тела^ ограниченного по­ верхностями

gi{x,y)=0

(г = 1,2,...), z = fi{x,y), z = /2{х,у) {f2{x,y) > fi{x,y)).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Объем цилиндрического бруса, ограниченного заданными по­ верхностями, определяется формулой

V = ЦШх.у) - fi{x,y)]dxdy,

(1)

D

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю­ чаем из них Z.

Допустим, например, что координаты точек тела удовлетворяют

неравенствам О < г < f{x,y),	gi{x^y) > О и д2{х,у) ^ 0. Тогда тело
определяется системой неравенств

	gi{x,y)	> 0 ,
	д2{х,у)	< о ,
	0<z<f{x,y).
Исключая Z, получим
{	{х,у):	gi{x,y) > 0 ,
		Р2(ж,у)<0,
		0<f{x,y)

3. Вычисляем двойной интеграл по формуле (1) при /2 = /(а:,у) и / 1 = 0 .

Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР 1.	Найти	объем тела,	ограниченного поверхностями
ж =	1 7 у ^ ,	x = 2 v ^ ,	z = l/2-y,	z = 0.

302	Гл. 12. Кратные интегралы

РЕШЕНИЕ.

1.По формуле (1) с /2 = 1/2 — у и Д = О искомый объем равен

^ = 11{\-у) ^^^^'

D

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю­ чаем из них Z. В данном случае тело определяется системой нера­ венств

( X < 1 7 v ^ , а:>2^2^,

0<z<l/2-y

Поэтому

г2у/Т^<х<х< 17V2y,

D=yx,y):

о < 1 / 2-- У, у > о

Здесь неравенство у > О необходимо, так как у стоит под знаком квадратного корня.

3. Вычисляем двойной интеграл:

V =	i--y]	dxdy=	dy / (-^-yjdx	=
	D	0	2 v ^
				1/2

= 1 5 4 / 2 | Q - 2 / ) v ^ d y = l.

0

Ответ. У = 1 ед. объема.

ПРИМЕР 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

ж2-Ь2/^ + 2х = 0, z = — -y'^, z = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.По формуле (1) с /2 = 25/4 - у^ и /i = О искомый объем равен

V = ll(^-y'-0^dxdy,

D

12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

303

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю­ чаем из них Z. В данном случае тело определяется неравенствами

Г(^+1)2+^2 <1^

\0<z< 25/4 - 2/2

Из первого неравенства очевидно, что \у\ < 1 и, следовательно, второе неравенство выполняется автоматически (геометрически это озна­ чает, что проекция поверхности z — 25/4 — у^ на плоскость XOY охватывает круг (х-|-1)2 + 2/2<1). Поэтому

D = {{x,y): (х + 1)2 + 2 / ' < 1 } .

3. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про­ ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре­ шать в полярных координатах

X = Q cos (/?,

\ уУ== gsimp.

При этом (^, ip) е D'^ а. искомый объем определяется формулой

V = / / [-г-У^]	dxdy= / / ( — - ^^sin^v?! gdtpdg.
D	D'

4. Чтобы найти область D'^ заменяем в неравенстве, определяю­ щем область D, X на gcoscp и у ка. gsimp:

{gcos(p + 1)2 4- д^зт"^ (р < 1.

Получаем
г,, j f ^	0<Q<-2cosip,\

Заметим, что из неравенств О < ^ < —2 cos (р следует 7г/2 < (р < 37г/2. 5. Переходим от двойного интеграла к повторному:

	37г/2	-2COSV3
V = / / ( —— ^^sin^ (p\gdgd(p=	/ d(p	/ f —— g^ sin^ (p\ gdg.

D'

7Г/2

0

304	Гл. 12. Кратные интегралы
Последовательно интегрируя, получаем
37г/2	- 2 cosy?
7г/2
	37Г/2	л4	. M-2COSV.
	/ /9.^л2

7г/2

					37Г/2
				=	/	( — • cos^ (^ — 4 cos"* (^ sin^ (р\					dip = бтг.
					7г/2
Ответ.		У = бтг ед. объема.
Условия ЗАДАЧ. Найти						объемы	тел, ограниченных			заданными
поверхностями.
1-	ж = у^,		X = 2уД,			z = l-y,		Z = 0.
2.	у =	у/х,	у = 2i/x,			Z = 6 - X,		Z = 0.
3.	у = у/х,		2/ =	О,	х = 1,		2; = х4 - у4 - 1,		г =	0.
4.	у = х^,		У =	1,		2; = x2-hy^,		z = 0.
5.	t/ =	б - Зх/2,		2/ =		6 - З х ,	г/ = 0,	z = 6 - x - 2 / ,			2; = 0.
6.	х2 + 2/^=4,				z = xy,		z = 0	( х > 0 , у > 0 ) .
7.	у=	y/xj2,	2/ =	0		2г = 4 - х - 2 2 / ,		2 =	0.
8.	х2 + у^-42/ = 0,					z = 4 - x 2 ,		z = 0.
9.	х2 + у 2 - 2 х		= 0,			z = x24-y^,		z = 0.
10.	х^ + у2 - 2х = О,					Z = 2х,		2: = 4х.

Ответы. 1. У = 4/15. 2. V = 48\/б/5. 3. У = 79/60. 4. V = 40/3. 5. У = 12. б. У = 4. 7. У = 17/5. S. V = Птг. 9. V = 37г/2.

10.V = 27Г.

12.6.Вычисление площадей в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченной линиями /i(x, у) = О, /2(2^,2/) = О (и, возможно, прямыми X — а и х = b или у = с иу = d).

12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах

305

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Из определения двойного интеграла следует, что искомая площадь 5 численно равна

IJl-dxdy. (1)

D

1. Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, какие из неравенств

fi{x,y)<0, fi{x,y)>0, f2{x,y)<0 или /2(ж,2/)>0

выполняются для координат точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y) < О и f2{x,y)<0. Тогда

Решаем неравенства, определяющие Z), относительно хиу. Получаем

D=l{x,	а < X <Ь,	I
	yi{x) < у < У2{х)

D=Uxy)'	^ ^ ^ ^ ^'	I
\ '	* xi{y) <х< Х2{у)	J *

2. Переходим от двойного интеграла к повторному:

b

2/2 (ж)

dxdy = dx / dy

D	a	2/1 (x)
или	^	. .

dxdy = dy / dx.

D

с

xi{y)

3. Последовательно интегрируем, используя свойства определен­ ного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо, разбиваем область на части и ис­ пользуем свойство аддитивности интеграла.

306	Гл. 12. Кратные интегралы

П Р И М Е Р . Найти площадь области D, ограниченной линиями

х^ + у^ = 12, ж\/б = 2/2 (а:>0).

РЕШЕНИЕ.

1.Зададим область D неравенствами. Область не может нахо­ диться вне круга, так как тогда она неограничена. Область не может находиться слева от параболы, так как в этом случае ее точки могут иметь отрицательные абсциссы, что исключено условием х > 0. Сле­ довательно,

Решаем неравенства, определяющие Z>, относительно хпу. Получаем

0.2

^< X < ч/12 - у2.

Следовательно, y'^/V^ < y/l2	— y^. Отсюда ~\/б <у< \/б. Итак,
D=< (х,2/):	-у/Е < 2/ <	\/б,	1
	2/VV6 <х<	х/12 -	у2

2. Вычисляем площадь области D по формуле (1). Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

	^	А/12-2/2
S =	dxdy =	dy / da:.
^	-V6	yVVe

3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем:

S= f dy

f dx= f ( ^ х / Т г " ^ - - ^ " ) dy = 37r + 2.

Ответ. 5 = (Зтг -h 2) (ед. длины)^.