Г л а ва 4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

При изучении темы ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ вы познакомитесь на примерах с понятиями производной и дифференциала функции од­ ной переменной, научитесь вычислять производные, используя пра­ вила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, научитесь дифференцировать функции, заданные парамет­ рически, вычислять производные высших порядков, а также приме­ нять производные и дифференциалы в приближенных вычислениях и при решении геометрических задач.

С помош;ью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить преде­ лы, выполнить численные расчеты, а также вычислить производные любого порядка и проверить правильность полученных вами резуль­ татов.

4.1. Понятие производной

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исходя из определения^ найти производ­ ную функции f{x) в точке х = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. По определению

•^ ^ ^ х->0

X

(Напомним, что при вычислении предела ж —> О, но ж т^ 0.)

2. Вычисляем предел

х-¥0 X

3. Если предел существует и равен А, то/'(0) = Л, если предел не

существует, то /'(0) не существует.

98	Гл. 4. Дифференцирование

ПРИМЕР. ИСХОДЯ ИЗ определения, найти производную функции

т	1 — cos ( ж sin — ), X ^ О,
	О,		х = 0,
в точке X = 0.
РЕШЕНИЕ.
1. По определению
/'(0) . Иш М	^ Л	= и т	l - c o s ( x s i n ( l / . ) ) - 0
х->0	X	ж->0	X

2. Так как sm(l/a;) — ограниченная, а ж — бесконечно малая функ­ ции при ж —)" О, то по теореме о произведении бесконечно малой функ­ ции на ограниченную a:sin(l/x) —> О при ж —> 0. Заменяя в числителе бесконечно малую функцию эквивалентной и снова используя упомя­ нутую теорему, получаем

lim	1 -	cosfx	sin(l/x)) -	О ,.	х^ sin^(l/a:)
		^	)U.-JJ	lim	^—L^ = О .
ж->0			X	х-^0	2х

3. Таким образом, предел существует и равен нулю. Следова­ тельно, /'(0) = 0.

Ответ. f{0)=0.

Условия ЗАДАЧ. Найти производную функции f{x) в точке х = 0.

1.	fix)	=	sin I ж^ + ж^ sin -		j ,	ж 7^ О,
			О,	ж = 0.
2.	fix)		tg	( ж^ cos — ) + 2ж,		ж 7^ О
			о,	ж = 0.
3.	/(ж)	=	arcsin I ж cos —		) , х ^ О,

О, ж = 0.

			4.2. Вычисление производных						99
4.	f{x)	=	In I 1 -		tg ( ж^ sin -		) ) ,	x^O,
			0,	ж = 0.
5.	fix)	==	tg	ж sin — ,		ж 7^ 0,
			0,	Vx = 0.^
6.	fix)	-	Wl + lnf 1 + ж2 s i n - ) - 1 ,						x^O,
			0,	ж = 0.
			sin ('e^' ^^"(^/^) -			i V	X 7^ 0,
			0,	x =	0.
8.	fix)	=	x^	cos	h Зж,	ж 7^ 0,
			О,	Зж
				а: == 0.
9.	fix)	=	arctg I ж — х^ sin — ) ,					х 7^ О,
			О,	а; =	0.
10.	/(x) =		sin X cos —h 2ж, ж 7^ О,
			О,	а; =	0.

Ответы. 1. 0. 2. 2. 3. Не существует. 4. 0. 5. Не существует.

6.0. 7. 0. 8. 3. 9. 1. 10. 2.

4.2.Вычисление производных

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции y = fix).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Задача решается в несколько этапов. На каждом этапе необходимо распознать тип функции и применить соответству­ ющее правило дифференцирования.

Возможны следующие типы функций.

• Функция имеет вид Сгщ -h C2U2 + ... + CnUn^ где ui(x), 7x2(2:), . • •, Unix) — некоторые функции и Ci, Сг,..., Сп — некоторые

100	Гл. 4. Дифференцирование

постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации

{CiUi + C2U2 -f . . . + CnUnY = Ciu[ + C2U2 + . . . + CnU'^^

• функция имеет вид и - v. Используем формулу производной произведения

(и- v)' = и' ' V -\-U' v'.

и

• функция имеет вид —. Используем формулу производной част-

	ного:	V
		/ г/ \ '	и' • V ~ и ' v'

• Функция имеет вид и(у(х)). Используем формулу производной сложной функции

u{v{x))' — u'{v) • v'{x).

• функция имеет вид и{хУ^^\ Производная такой функции вы­ числяется с помощью формулы

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каж­ дым знаком производной не окажется табличная функция.

ПРИМЕР. Найти производную функции

Зх^ -h 4х^ - х2 - 2

У =	15\/1 + ж2

РЕШЕНИЕ.

1.Функция у{х) имеет вид

15 V

где и{х) = Зх^ -f- 4х^ — х^ — 2 и v{x) = у/1 Ч- ж^ . Используя формулу для производной частного, получаем

У

1 {Зх^ + Ах^ -х^-	2У УТТ^ - {Зх^ -Ь Ах^ -х^-2)	{УТТ^)'
15	( \ / i T ^ ) 2

4.2. Вычисление производных

101

2. Функция и{х) = Зх^ + 4а;'^ — ж^ — 2 является линейной комбина­ цией табличных функций. Поэтому

(Зж^ + 4х^ - х2 - 2)' = 18х^ + 1бх^ - 2х.

3. Функция v{x) = \/1 + ж^ имеет вид

г;(а:) = ui(i;i(a;)),

где Til = \ / ^ и z;i(x) = 1 + ж^. Используя формулу для производной сложной функции, получаем

v\x)

= ( v ^ ) ' (1 + х^У = - i =

2^ =

2\/1 + ж2 '

2,/щ

Ответ,

у' =

, (18а;^ +

16х^ -

^

-

(Зх^ + 4а;^ -

а;^ -

2)

—

2х

=

_

2х) VTTx^

=

1

2У/ТТХ'

2

15

1 + ^2

Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных

функций.

1.

у = 2^^^.

2.

у = \п{х + ^/TTx^).

3.

?/ =

ln2(l - cosx) .

4.

, .

.

5.

y =

3^ (sin X + cos X In 3)

^

sh2a:

?/= m(arcsin\/^).

^

•

6. y = —^—.

^

^

^

1Ч-1п2з

ch22x

7.

у = arcsin -7= .

8.

у = a r c t g 3 ^ .

9.

у = ln(l +

Vthx).

y/x

10. 2/ = lnsin3 —cos^x

smx

Ответы. 1. 2v^^ ,

! " V •

2. ^ = L = .

3. ^^^"^^(1 -

cosx)

2cos^xVtga;

v 1 + a:^

l - c o s x

^

2ch22x-4sh^2x

^

1

2\/х - ж2

arcsin v ^ '

5. 3'^cosa;.

6.

r^-

.

7.

2ж Vx - 1"

'

'

'

ch^ 2ж

'

'

3v^ln2

1

cosa;(l-f

sin^x)

• (l + 32V^)2v^'

y.

"~

/

^

о •

J-U.

sin^x

* 2(thx + \/thx)ch2x'

*