12.11. Тройной интеграл в сферических координатах

321

41IV^^ + у^		х^ + 2/^ - 4у = О, 2: = 4 - ж^, z = 0.
	dxdydzj
	п
4.	—=^===dxdydz,	ж ^ + у 2 - 4 х = О, Z = 10-2/^, Z = 0.
5.	/ //-^—^dxdydz,	ж^ + у^ - 4ж = 0, z = 12 - у^, z = 0.
^-	/ / / "^ ^dxdydz,	Z - i/36 - ж2 - 2/2, z = ж^ + у^

		44	2	3.	32	32	2
Ответы. 1. -—7г. 2. 10-7Г.					32—.	4. 96—.	5. 22-7г.
3	19	3	3		35	35	3
			9. 0.	10.	0.
6. 42-7Г.	7. —7г. 8. 0.
4	96

12.11.Тройной интеграл

всферических координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл

1 \ 1 f{x,y,z)dxdydz, о.

где область ft ограничена поверхностями

x^ + y^ + z^^R\ z = ±i/''' + ^"

322	Гл. 12. Кратные интегралы

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Поскольку П ограничена сферой и круглым конусом, удобно перейти к сферическим координатам

X = ^cos</?sin6,

у = gsm(psm9,

Z = QCOSO.

Возможные границы изменения сферических координат суть

0 < ^ < О О , 0 < ^ < 7 Г , 0 < < ^ < 2 7 Г .

При этом (^, 0, у?) G П', а искомый интеграл определяется формулой
III-f{x,y^z)dxdydz		=
-IIIf{g cos ip sin 9, g sin ip sin в, g cos в) g sin в dg dO d(p.
2. Заменяем	в уравнениях		поверхностей х на ^ cos (^ sin в,		у	на
^sin if sine и Z КЗ. дcos ^. Получаем
		g = R,	tge	= ±\a\.
3. Зададим область Q' с помощью системы неравенств:
		0<g<R,
		Oi<e<		02,
		О < (^ <		27Г,
где границы изменения в находим,				решая уравнение tg0 = ±|а| и
учитывая, что в может изменяться только от О до тг.
ЗАМЕЧАНИЕ.	ЕСЛИ О. ограничена также плоскостями у =				kix	и
у = к2Х, проходящими через ось 0Z,				уравнения которых в сферичес­

ких координатах имеют вид tg(p = ki и tg(p = к2, находим границы изменения (р, решая эти уравнения.

4. Переходим от тройного интеграла к повторному:

/ / / f{x,y,z)dxdydz	=
п

12.11. Тройной интеграл в сферических координатах				323
~	-^(^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^) ^^ ^^^ ^ ^^ ^^ ^^			~
=	dip smOde	f{gcos(psme,gsm(f	sine, QCOsO) Q^ dg,

06/i

ипоследовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Записываем ответ.

ПРИМЕР. Вычислить тройной инт,еграл

Г.2

j 1] ^^Г^^^'^У^^^

2(?e область Г2 ограничена поверхностями

,2 , 7,2

РЕШЕНИЕ.

1.Поскольку О. — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

X = дcos if sine,

z = gcosO.

При этом {д,в,(р) G Cl', a искомый интеграл определяется форму­

лой

/ / / ~

^dxdydz =

cos^ ifд^ sin в dgd9d(f.

2. Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^cos(^sin^, у на ^sin(/?sin^ и Z на gcosO. Получаем

^= 6, tg6> = \/3.

3.Зададим область Q' с помощью системы неравенств:

	О < ^ <	6,
П' = < {д,в,^):	0 < ^ < 7 г /	3 , \ ,
	0<(р<27г.

324				Гл. 12.		Кратные интегралы
4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последова­
тельно интегрируя, получаем
/ / / ~2		2 ^^dydz—		j	I j	cos^ (pQ^ sin в dg dO dip			=
							27Г	ТГ/З	6
						=	/ cos^ (pdp(f dip			dg = Збтг.
Ответ.	/		X	2 ^^ ^^ ^^			~	^^^'
			/ / -2
			n
Условия			ЗАДАЧ. Вычислить				тройной инт^еграл по области				Q,
ограниченной			заданными		поверхностлми.
Г Г Г			х^							[х^+у
2.		-j—^dxdydz,				z =		>/Зб~^^^^"^2^^^,	^"^V	63	*
^' J J	J		х^ + у^'^'''^^'^^'							x^ + 2/^
								^ = ^ 1 6 - ^ ^ - 2 / " ' ^ = Y

15

ж^ + 2/^

X^ + у2

x2 +2/^

n

x2 +2/^