10.12. Вычисление суммы рлда почленным дифференцированием 241

4. 5 = - | l n ^ - ^ , а: G (-00,-3]и(3,+оо).

			3		X
5.	5	= - —		In	г—,	xG	(-с?о,-\/2)и(\/2,+оо).
			2		х^
6.	5	=	(1 -	2х) 1п(1 -		2х) + 2х,		ЖЕ [-1/2,1/2].
7.	'5 =		- ^ 1 ^ - у ^			+ | '	хе( - оо, - 3]и[3,4 - оо) .
8.	5=arctga:,				a:G[ - l,l] .
9 . 5 = ^ ^ - 1						. б [ - 1 А 1 / 2 ] .
10.		5 = 2a:arctga:-ln(H-a:2),						Ж Е [ - 1 , 1 ] .

10.12.Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида

оо

n=fc

и указать област,ь сходимости ряда к эт.ой сумме.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом

1/(^)1 < 1-

Если /(х) = ±1, ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется нера­ венствами — 1 < f{x) < 1.

242	Гл. 10. Ряды

2. Делаем в исходном ряде замену f{x) = t и записываем его в виде суммы двух рядов

^ п Г + Ь ^ Г .

п=к п=к

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

оос»

п—к п=к

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

с о

,]^

n=fc

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

сх)	оо	со ,
п=к	п=к	п~к

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференциро­ вать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

ОС rJ °^ г1 +к

^	dt^^	dt 1-t'	^ ' ^
n=k	n=k

6. Вычисляем производную и делаем замену t на f{x). Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид

оо

J2{n' + bn + c)f{xr, п=к

ТО вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

E"VW"

п—к

10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием 243

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ря­ да дважды.

ПРИМЕР. Найти сумму ряда

оо

ji -г u;u;In

n=0

иуказать область сходимости ряда к этой сумме.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст­ вом |ж^| < 1. Отсюда — 1 < ж < 1. В граничных точках х = ±1 ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале ( — 1,1).

2. Делаем в исходном ряде замену х'^ = t и записываем его в виде суммы двух рядов

сю	оо
S{t) = б ^ г	+ ^ nt" = 6Si{t) + S2{t).
n=0	n=0
Следовательно, достаточно найти суммы рядов
оо	оо
n = 0	n = l

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

	оо
	Е^' = г^'	w<i.	(2)
	п=0
Следовательно, Si{t) =	при всех t G (—1,1).
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
оо	оо	оо	J

п=1

п=1

п=1

244	Гл. 10. Ряды

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференциро­ вать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

n=l

п~1

^

'

Таким образом.

S{t) = 63г{Ь) + S,{t) = Y ^ + ( Y ^ ^ W=W' * ^ ^"^' ^^'

Заменяя t на x'^ ^ получим

6 — 5ж^	ж е ( - 1 , 1 ) .
Ответ. 5 ( a : ) - — - - ^ ,

Условия ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимости к этим суммам.

	оо
1. ^ п а ; " + Ч		2.	^ п 2 " х " .
	п=1		п=1
	П = 1		П = 1
3.	ОО	4-	оо
	5Z("+i)^'"^'-		Е	3П-1
	п=0		п=1
5. ^viLli2^1.f2^.		6. ^ n ^ x - i .
	n=0		n = l
	00		00
	n=0		n = l
9.	^ n ( n + 2)x".	10.	^ n ( a : ^	+ l ) " - \

n = l

n = l