10.7. Признак Лейбница					227
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.
1	ОО	-			2	ОО	^
	V	=				V	=
	;^^(2n + 3)ln(2n)-				•		^^(п+1)\п^п
3-	С О		^		4.	ОО	^	-.
	у		]			У-^
	;^1 (Зп - 2)Vln(2n + l)					^^	пЫ^{п	+ 1)
	СХ)	-				ОО		-
	„ ^ 2 ( 2 n + l ) V b^					;S2n^ln3(3n+l)
	ОО	-				ОО
7	У^	^			8	V		" 2 _ •
		.2
	^ ( г г З	+ 2)1п2п*				* ^ ( п 4 - 2 ) 1 п п *
	Ответы.	1. Ряд расходится.			2. Ряд сходится.			3. Ряд расходится.
4. Ряд сходится.			5. Ряд	расходится.			6. Ряд	сходится. 7. Ряд
расходится.		8. Ряд сходится.			9. Ряд сходится.			10. Ряд расходится.
10.7. Признак Лейбница
	ПОСТАНОВКА		ЗАДАЧИ.	Исследоват^ь сходимость знакочередую­
щегося ряда			ОО

п =1

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Проверяем, что limn->oo ^п = О (если Ит^-^оо «п ^ О, то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2.Исследуем сходимость ряда, составленного из модз^лей,

ОО

п=1

используя теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с по­ ложительными членами.

228 Гл.10. Ряды

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсо­ лютно.

3. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность того, что исходный ряд сходится условно.

Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейб­ ница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и ст^ремятся к нулю при п —> оо, то ряд сходится {по крайней мере, условно).

В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то исходный ряд сходится условно (так как уже выяснено, что абсолют­ но он не сходится).

П Р И М Е Р . Исследовать сходимость ряда

п=1 ^ ^

РЕШЕНИЕ.

1. Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

lim (-l)'^f l - c o s - i = : ) = 0 .

n->oo

у

V ^ /

2. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

			1
		Vn	COS—р:
	п=1 '		n = l
	Так как при п —>• оо	1	1

COS "7= - — ,

то по второй (предельной) теореме сравнения ряд из модулей расхо­ дится.

3. Проверяем условия признака Лейбница:

а) ряд знакочередующийся с an = 1 — cos —7= ;

\/п

б) члены ряда убывают по абсолютной величине:

1 — cos .	< 1 — cos -7= Vn > 1;
V n + 1	yjn

10.8. Приближенное вычисление суммы ряда

229

в) члены ряда стремятся к нулю при п -> оо (см. п. 1). Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Ответ. Ряд У^ (—1)"^ ( 1 — cos -7= ) сходится условно.

Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.

	п=1	n(n + 2) •				п=1
		^	^
3		п2 + 1			4	y - ( _ nnSin(n^v^)
	y ^ ( _ i ) " - _ ^ : ± L =
		л/п"5 +	Zn^+'i
		2 п 2 - 1
		ЗпЗ	•
		+if	п	у'
						ОО
9-	Е<-1)"^'"'|г-				И-	Е созтгп
	п =1					п=1 ^

Ответы. 1. Ряд сходится условно. 2. Ряд сходится абсолютно. 3. Ряд сходится условно. 4. Ряд сходится абсолютно. 5. Ряд схо­ дится условно. 6. Ряд сходится условно. 7. Ряд сходится абсолютно. 8. Ряд расходится. 9. Ряд сходится абсолютно. 10. Ряд сходится условно.

10.8.Приближенное вычисление суммы ряда

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда

ОО

п=1

с заданной точност^ъю а.

230	Гл. 10. Ряды

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Если a^+i < о^п и lim^_^oo <^п = О? то А,ЛЯ остатка ряда Rn справедливо неравенство

\Rn\ £ «n+l-

2. Если a^+i < а, то и \Rn\ < а. Поэтому, решая неравенство

ttn+i < а,

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы­ числения суммы ряда с заданной точностью а.

3. Непосредственно вычисляем п-ю частичную сумму и записыва­ ем ответ:

5 « 5п = ai - а2 + ... 4- (-1)""^ап.

ПРИМЕР . ВЫЧИСЛИТЬ сумму ряда

оо

П = 1	^	'
С ТОЧНОСТЬЮ а = о, 0 0 1 .
РЕШЕНИЕ.		,

1. Данный ряд знакочередующийся и сходяш;ийся (абсолютно). Члены ряда убывают по абсолютной величине:

п + 1	-г.	п	W ^ .
<		ТТТ7	Vn > 1.
(1 + (п + 1)3)2 -	( Ц - п З ) 2

Следовательно,справедливо неравенство

гг + 1

\^п\ £ ^n+l — (1 + (71+1)3)2-

2. Если ttn+i < а, то и \Rn\ < ос- Поэтому, решая неравенство

n-f 1	1
(l + (n +1)3)2 <	1000'

находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вы­ числения суммы ряда с заданной точностью а. Получаем п > 3, т.е. достаточно взять первые три члена ряда.