278	Гл,11. Дифференциальные уравнения
Ответы.
1.	X
	у = Ci cos X -\- С2 sin X -\— sin х.
	2
2.	у = Cie^ 4-С2е-2^ - - (3sin2x + cos2x).
	5
3.	X
	у = (Ci cos 2х + С2 sin 2ж) е^ -f •- е"^ sin 2ж.
	3

4.у = Ci cos ж 4- С2 sin ж — •- а: cos ж.

5.2/= CiCosa; + С г з ш х + xcosa; + x'^sina;.

6.	J/ = Ci e^^ + C2 e-3* +	-5- e^'^(6sinx - cosx).
		О I
7.	2/ = Cie-2^ +C2e2^ -	-—(sin2x + 2cos2x).
8.	у = Ci e - ^ ^ + C2e^^ + x e^ sin ж -f e^ cos x.

9.г/= Ci e^ + C2e~^ + 2со8ж - sinx.

10.у — [C\ cos4a; + C2sin4x)e^^ -h - r r (14 cos ж + 5 sin ж).

11Л0. Принцип суперпозиции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти общее решение линейного диффе­ ренциального уравнения п - го порядка с постоянными коэффициен­ тами

У(п)	+ РгУ^""'^^ + ... -f Рп-1У' + РпУ = F{x),			(1)
где F{x) = fi{x)	+ h{x) + ...	+ Л(ж).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
П р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и .			Если правая часть уравнения	(1)
есть сумма нескольких функций
	^ ( ж) = /1(ж) +		/2(ж) + . . . + Л ( ж )

И Yi (г = 1,2,..., /с) — какое-нибудь частное решение каждого урав­ нения

У(п) + Pi2/^"-'^ + ... 4- Рп-1У' + РпУ = fi{x) (г = 1, 2 , . . . , к),

(2)

11.10. Принцип суперпозиции			279
то в силу линейности уравнения (1) его		общее решение имеет	вид
y = yo^Yi+Y2	+ ...	+ Yk,	(3)

где уо — общее решение однородного уравнения

У(п) + Piy^""'^^ + ... + Рп-1У' + РпУ = 0.

1.Находим фундаментальную систему решений и общее решение 2/0 однородного уравнения.

2.Для каждого неоднородного уравнения (2) (г = 1, 2 , . . . , fc) на­ ходим частное решение ¥{ (используя, например, метод подбора или метод вариации произвольных постоянных).

Записываем ответ в виде (3).

ПРИМЕР. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

у" - 1002/' - 20е^°"^ + 100 cos lOx.

РЕШЕНИЕ.

1.Записываем соответствующее однородное уравнение

у'" - Шу' = О

(4)

и ищем его решение в виде у = е^^, где Л — неизвестное число. Подставляя у = е^^, у' = Ле^^ и у'' = Л^е^^ в уравнение (4) и

сокращая е^^, получаем характеристическое уравнение

Л^ - ЮОЛ = 0.

Характеристическое уравнение имеет три корня Ai = О, Л2 = 10 и Аз - -10.

Таким образом, имеем фундаментальную систему решений

У1 = 1, 2/2 = elO^ j/3 = e - i«^

И общее решение однородного уравнения

Уо = С1 + С2е10а: + Сзе-^^^.

2. Решаем неоднородное уравнение, используя принцип суперпо­ зиции:

а) ищем частное решение Yi неоднородного уравнения

у'" - ЮОу' = 206^^^

(5)

280	Гл.11. Дифференциальные уравнения
в виде Ух =	хАе^^^, где А — неопределенный коэффициент (так

как а-\- ib = 10 — корень характеристического уравнения кратности 5 = 1).

Дифференцируя Yi три раза и подставляя в уравнение (5), нахо­

дим Л = 1/10. Таким образом,
у:	=1.е^0х.
'	10	'
б) ищем частное решение Уг неоднородного уравнения
?/'"-1002/' =		100 cos 10х	(6)

в виде У2 = Bi cos Юж + В2 sin Юж, где Bi и В2 — неопределенные коэффициенты (так как а ± г6 = ±10г не являются корнями характе­ ристического уравнения, то множитель х отсутствует).

Дифференцируя Уг три раза и подставляя в уравнение (6), нахо­ дим Bi = О и В2 = —1/20. Таким образом,

У2 = - — s i n Юж.
Используя принцип суперпозиции (3), получаем
у = J/0 + П +12 = Ci + Сге^"» + Сзе-1°== + ^	е^"^ - ^ sin lOx.
Ответ. y = Ci + Сге^о^ + Сзе-^^^ + ^ е^^^ -	^ sin lOx.

Условия ЗАДАЧ. Найти общие решения дифференциальных урав­ нений.

1. 2/" + у ' = 5х-Ь2е^. 2. у"-h 2г/'+ 2/= е"^ cosx 4-же"^.

3. 2/" - Зу' = X + cos X. 4. у" - 2у' + Юу = sin Зж + е^.

5. 2/"Ч-4г/ = 2sin2x-3cos2a:-hl. 6. у" + 9у = хе^"" + 2xsmx.

7. г/" + 2/ = 2х cos ж cos 2х. 8. у"' - Ъу" + %у' - 4у = 26^^ + Зе^^.

^• y'"-f-2/" = а;^4-1 + За;е'^. 10. у'^-h 2у"-f-у = е"^ И-sin а:-f sin 2ж.

	11.11. Метод Лаграноюа								281
Ответы.
2.	y = {Ci + C2X+	—	-cosx)e~''.
		D
3.	у = Ci + Сч^^	1			X	X
		- ---(со8ж + Ssinx) — - —				-•.
		10		1	6	9			е^
4.
	у = (Ci cos Ъх + Сг sin Зх) е^ + —(sin3a; + 6 cos Зж) Ч- —.
				о7					У
5.	у — С\ cos2x И- C2sin2a: -			X-7(3sin2x -h 2cos2x) +				1	- .
				4				4
6.	у — C\ cos Зж + Сг sin За: + ~ж sin ж - --- cos ж + —• (Зх - 1) е^^.
				4	16		54
7.	у = Ci cos ж + С2 sin X -f -			cos ж + — sin X -			-• cos 3x + — sin 3x.
			4	4		8			32
8.	y = Cxe" + (C2 + Сзх) e2^ + e^^ + ^ a^^e^^
			3	2 1 3	^ 1 4	/	3		15

10. у = (Cix + C2) cos X + (Сзж + C4) sin X + - e^ — - x^ sinX + - sin 2z. 4 8 9

l l . l l . Метод	Лагранжа
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти решение задачи Коши для		линей­
ного неоднородного	уравнения с постоянными коэффициент,ами
	у" +Piy' •^Р2У = f{x)	(1)
с начальными условиями
	у{хо) = Уо, у\хо) = 2/0-	(1')

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с посто­

янными коэффициентами
у"-\-Р1у'+Р2У = 0.	(2)

282	Гл. 11. Дифференциальные уравнения

Находим фундаментальную систему решений yi{x) и У2{х) и общее решение однородного уравнения

у= Ciyi{x) -^ С2У2{х).

2.Применяем метод Лагранэюа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений yi{x), 2/2(^) од­ нородного уравнения (2), то обш,ее решение соответствующего неод­ нородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

у = Ci{x) yi{x) + С2{х) У2{х),

где функции С[{х) и С2{х) определяются из системы линейных алге­ браических уравнений

(	С[{х)уг{х)	+	С!,{х)у2{х)=0,
\	C[ix)y[{x)	+		C!,ix)y',{x)^fix).
Интегрируя, находим функции Ci{x)				и С2{х) и записываем общее ре­
шение неоднородного уравнения.
3. Используя	начальные	условия		(1'), находим решение задачи
Коши.
Записываем ответ в виде у =			у{х).

ПРИМЕР. Найти решение задачи Коши

у" + 2/ =

COSX

с начальными условиями у(0) = 1, у'{0) = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.Записываем соответствующее однородное уравнение:

У" + У^ 0.

Находим фундаментальную систему решений yi = cos х и у2 = sinx и общее решение однородного уравнения

у= Ci cos X + С2 sin X.

2.Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных):

11.11. Метод Лагранэюа

283

а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде

у = Ci{x)cosx 4- C2(x)sinx;

б) записываем систему уравнений для определения функций С[{х)

и С!,{х):

{	С[ (ж) cos ж + С2 (х) sin ж = О,
	C[{x){—smx) 4- C2(a;)cosa: = l/cosx.

Решая ее (так как решение иш;ем в окрестности точки а: = О, то cos а: > 0), получим

C[{x) = -tgx, С!,{х) = 1.

Интегрируя, находим

Ci{x) = Incosx + Ci, С2{х) == ж + Сз;

в) записываем полученное обш;ее решение данного неоднородного уравнения

у= (In cos х + CI) cos X -\- {х + С2) sin ж.

3.Используя начальные условия, определяем константы С^ и С2. Так как

2/(0) = (Incos О + Ci) cosO + (О -f с;) sinO = О,

то Cj = 1 . Так как

у'(0) = (IncosO + Ci) sinO 4- ( - - ^ ) cosO -f sinO + (0 -f C^) cosO = 0, \ cos 0 /

TO C2* = 0.

Ответ. 2/= cosx(lncosa; + 1)-h xsinx.

Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для, дифференци­

альных уравнений.
1. 2/" + 2у' + у = — ,	2/(1) = О,	у'(1)=0 .

X

284	Гл. 11. Дифференциальные уравнения

2.	у" + у	smx
3.	y" + 4y = 2tgx,
			1
4.	у" + Ау = cos 2а;
5.	y" + j/ =		tgx,
6.	у" -2у'	+ у = —,
			X
7.	2/"-2/ = thx,
8.	у" -2у	=	Ах'^е''\
9.	у " - у	= 4x2 + 1
			Ху/х
10. у" -2у-\-у			= а;2 + 2а; + 2

Ответы.

1. 2/ = (1 — хНxlnx) е~^.

2/(0) = О, 2/(0) = О, У(0) = 2, 2/(1) = е,

2/(0) = 2	+ ^ ,
у(0) = 3,
2/(1) = е - 4 ,
у(-1) =	- - 1 ,
	е

2/'(0) = - 2 . 2/'(0) = 0. 2/'(0) = 1. 2/'(1) = Зе. у'(0) = 1. у'(0) = 0. у'(1) = е - 2 .

у'(-1) = е - - 1 .

^	7Г	.			.	1	I	. I
2.2/ =	— cos а: + sm ж — х cos х 4- sin ж In | sm ж|.
3. 2/ =	—X cos 2х — - sin 2х + sin2хIn | cosх\.
4. w =	1	1	1	^
	-- cos 2х In cos 2х + — sin 2х.
	4			2		7 Г \ |
			-	I	/ X
Ъ.у — cos X + sm X 4- cos In ctg 177 + т								I •
6. ?/ = X e^ (1 + Inx).					7. у =	{f	4- e-^)(l + arctge^).
8. у = e ^ ^		-f e " ^ ^	+ e^'.		9. у = e^ -			4у^.	10. у = e^ + - .